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Definiciones Macroscopicas
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Existen una serie de definiciones macroscopicas que se definen en la termodinámica y que describen propiedades materiales de los sistemas.
ID:(175, 0)
Definición del coeficiente de dilatación térmica
Ecuación
Si un sistema se calienta este tiende a expandirse. Dicha dilatación se describe comparando la variación del volumen con la temperatura bajo presión constante. El coeficiente de dilatación térmica se define con como
| $ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $ |
ID:(12040, 0)
Derivada parcial del volumen en la temperatura
Ecuación
Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n
$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$
de la derivada parcial que para el caso de la derivada del volumen en la temperatura es con es
| $ DV_{T,p} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial T }\right)_ p $ |
en donde la función a derivar se escribe tras la letra 'D' y en el subindice se indica la variable en que se deriva y tras el coma aquella que se mantiene constante.
ID:(12032, 0)
Coeficiente de dilatación térmica
Ecuación
La dilatación térmica se define utilizando coeficiente de dilatación térmica $1/K$, presión $Pa$, temperatura $K$ y volumen $m^3$ de la siguiente manera:
| $ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $ |
Cuando se utiliza la notación presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ y volumen $m^3$, el coeficiente de expansión térmica se define como:
| $ DV_{T,p} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial T }\right)_ p $ |
El coeficiente de expansión térmica en sí se define a través de presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ y volumen $m^3$ como:
 $ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$ |
ID:(3605, 0)
Definición del coeficiente de compresibilidad isotérmica
Ecuación
Si a un sistema se le aplica presión tiende comprimirse. Dicha comprensión se describe comparando la variación del volumen con la presión bajo temperatura constante. El coeficiente asociado se denomina la compresibilidad y se define con como
| $ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $ |
ID:(12039, 0)
Derivada parcial del volumen en la presión
Ecuación
Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n
$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$
de la derivada parcial que para el caso de la derivada del volumen en la presión es con es
| $ DV_{p,T} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial p }\right)_ T $ |
en donde la función a derivar se escribe tras la letra 'D' y en el subindice se indica la variable en que se deriva y tras el coma aquella que se mantiene constante.
ID:(12033, 0)
Coeficiente de compresibilidad isotérmica
Ecuación
La compresión se define mediante compresividad isotermica $1/Pa$, presión $Pa$, temperatura $K$ y volumen $m^3$ como
| $ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $ |
Si utilizamos la notación presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$, la compresibilidad se define como
| $ DV_{p,T} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial p }\right)_ T $ |
El coeficiente de compresibilidad se define mediante presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$ como
| $ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$ |
ID:(3606, 0)
Velocidad del sonido como derivada de la presión
Ecuación
El sonido es una oscilación de la densidad que se propaga y está asociada con una correspondiente variación en la presión. Por lo tanto, la velocidad del sonido al cuadrado ($m^2/s^2$) se puede definir como la relación entre la variación de la presión ($Pa = kg/m s^2$) y la densidad ($kg/m^3$). Debido al corto período de tiempo en el que esto ocurre, se asume una variación a entropía constante. Por lo tanto, podemos expresarlo utilizando como sigue:
| $ c ^2=\left(\displaystyle\frac{ \partial p }{ \partial \rho }\right)_ S $ |
ID:(3607, 0)
Desglose de la velocidad del sonido en el volumen
Ecuación
Si la velocidad del sonido con densidad $kg/m^3$, entropia $J/K$, presión $Pa$ y velocidad del sonido $m/s$ es
| $ c ^2=\left(\displaystyle\frac{ \partial p }{ \partial \rho }\right)_ S $ |
\\n\\nse puede aplicar la regla de la cadena con el volumen\\n\\n
$c^2=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_S$
\\n\\nque si se reescribe invirtiendo las expresiones\\n\\n
$c^2=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial V}\right)_S}$
\\n\\nque se puede reescribir con la nomenclatura\\n\\n
$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$
con densidad $kg/m^3$, entropia $J/K$, presión $Pa$ y velocidad del sonido $m/s$ como
| $ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ DV_{p,T} D\rho_{V,S} }$ |
ID:(12034, 0)
Variación de la densidad en el volumen
Ecuación
Como la densidad es con igual a
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$ |
\\n\\nla derivada parcial de la densidad es\\n\\n
$D\rho_{V,S}=\left(\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial V}\right)_S=-\displaystyle\frac{ M }{ V ^2}=-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$
por lo que con se tiene
| $ D\rho_{V,S} =-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$ |
ID:(12035, 0)
Cálculo de la velocidad del sonido
Ecuación
Con variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y velocidad del sonido $m/s$ la velocidad del sonido es
| $ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ DV_{p,T} D\rho_{V,S} }$ |
Con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$ la expresión de la compresibilidad
| $ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$ |
y con densidad $kg/m^3$, variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$ y volumen $m^3$ la variación de la densidad es
| $ D\rho_{V,S} =-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$ |
por lo que con densidad $kg/m^3$, variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$ y volumen $m^3$ se obtiene que la velocidad del sonido es
| $ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ \kappa \rho }$ |
ID:(7981, 0)
Definición de la capacidad calórica a volumen constante
Ecuación
La capacidad calórica se define como varia la temperatura con el calor suministrado/retirado que es igual a la temperatura por la variación de la entropia:\\n\\n
$\delta Q = C dT = T dS$
Con la variación de la energía interna es
En el caso de que el volumen es constante la variación del calor es igual a la variación de la energía interna..
Osea con se puede expresar en función de la energía interna
| $ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $ |
ID:(12041, 0)
Capacidad calórica a volumen constante
Ecuación
La capacidad calórica se define como la variación de temperatura con respecto al calor suministrado o retirado. Se puede expresar mediante la ecuación:
$\delta Q = C dT = T dS$
Esta ecuación representa un diferencial inexacto, ya que depende de la forma en que se suministra o retira el calor. En particular, cuando consideramos un proceso llevado a cabo a volumen constante, definimos la capacidad calórica a presión constante.
En otras palabras:
| $ C_V = T DS_{T,V} $ |
Aquí, $C_V$ representa la capacidad calórica a volumen constante.
ID:(3603, 0)
Derivada parcial de la entropía en la temperatura a volumen constante
Ecuación
Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n
$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$
de la derivada parcial que para el caso de la derivada de la entropia en la temperatura que con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, entropia $J/K$, temperatura $K$ y volumen $m^3$ es
| $ C_V = T DS_{T,V} $ |
se puede reescribir con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, entropia $J/K$, temperatura $K$ y volumen $m^3$ como
| $ DS_{T,V} =\displaystyle\frac{ C_V }{ T }$ |
ID:(12037, 0)
Definición de la capacidad calórica a presión constante
Ecuación
La capacidad calórica se define como varia la temperatura con el calor suministrado/retirado que es igual a la temperatura por la variación de la entropia:\\n\\n
$\delta Q = C dT = T dS$
Con la variación de la entalpia es
En el caso de que la presión es constante la variación del calor es igual a la variación de la entalpia..
Osea con
| $ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $ |
ID:(12042, 0)
Capacidad calórica a presión constante
Ecuación
La capacidad calórica se define como la variación de temperatura con respecto al calor suministrado o retirado. Se puede expresar mediante la ecuación:
$\delta Q = C_p dT = T dS$
Esta ecuación es un diferencial inexacto, ya que depende de la forma en que se suministra o retira el calor. En particular, cuando consideramos que el proceso se realiza a presión constante, definimos la capacidad calórica a presión constante.
Es decir:
| $ C_p = T DS_{T,p} $ |
Donde $C_p$ es la capacidad calórica a presión constante.
ID:(3604, 0)
Derivada parcial de la entropía en la temperatura a presión constante
Ecuación
Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n
$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$
de la derivada parcial que para el caso de la derivada de la entropia en la temperatura que con capacidad calórica con presión constante $J/K$, entropia $J/K$, presión $Pa$ y temperatura $K$ es
| $ C_p = T DS_{T,p} $ |
se puede reescribir con capacidad calórica con presión constante $J/K$, entropia $J/K$, presión $Pa$ y temperatura $K$ como
| $ DS_{T,p} =\displaystyle\frac{ C_p }{ T }$ |
ID:(12036, 0)
Relación entre variaciones de entropia
Ecuación
El diferencia de la entropia es, que es una función de la temperatura y presión\\n\\n
$dS=DS_{T,p}dT+DS_{p,T}dp$
\\n\\ny el diferencial de la presión, que es una función de la temperatura v volumen\\n\\n
$dp=Dp_{T,V}dT+Dp_{V,T}dV$
\\n\\nSi se reemplaza el diferencial de la presión en la ecuación anterior se obtiene\\n\\n
$dS=DS_{T,p}dT+DS_{p,T}[Dp_{T,V}dT+Dp_{V,T}dV]$
\\n\\nEn el caso que el volumen no varia
$\left(\displaystyle\frac{dS}{dT}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V=DS_{T,V}$
Con ello y la ecuación resultante es
| $ DS_{T,V} = DS_{T,p} + DS_{p,T} Dp_{T,V} $ |
ID:(3612, 0)
Relación variación de la entropia con la presión
Ecuación
Con la relación de Maxwell de la energía libre de Gibbs con
| $ DS_{p,T} = -DV_{T,p} $ |
y la relación del coeficiente térmica con coeficiente de dilatación térmica $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ y volumen $m^3$
| $ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$ |
se obtiene que con coeficiente de dilatación térmica $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ y volumen $m^3$
| $ DS_{p,T} = - V k_T $ |
ID:(638, 0)
Relación variación de la presión en la temperatura
Ecuación
Si se considera el diferencial\\n\\n
$dV=DV_{T,p}dT+DV_{p,T}dp$
\\n\\nque para el caso que no hay variación en el volumen
$\left(\displaystyle\frac{dp}{dT}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=Dp_{T,V}=-\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ DV_{p,T} }$
que con la definición de la compresibilidad con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$
| $ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$ |
lleva con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$ a la expresión
| $ Dp_{T,V} =\displaystyle\frac{ \alpha }{ \kappa }$ |
ID:(12038, 0)
Relación entre capacidad calorífica y constantes materiales
Ecuación
La relación con variación de entropía en presión con temperatura constante $m^3/K$, variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$, variación de entropía en temperatura con volumen constante $J/K^2$ y variación de presión en temperatura con volumen constante $Pa/K$
| $ DS_{T,V} = DS_{T,p} + DS_{p,T} Dp_{T,V} $ |
con las relaciones para
- dilatación térmica con coeficiente de dilatación térmica $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ y volumen $m^3$
| $ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$ |
- compresibilidad con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ y volumen $m^3$
| $ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$ |
- capacidad calorica a volumen constante con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, temperatura $K$ y variación de entropía en temperatura con volumen constante $J/K^2$
| $ DS_{T,V} =\displaystyle\frac{ C_V }{ T }$ |
- capacidad calorica a presión constante con capacidad calórica con presión constante $J/K$, temperatura $K$ y variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$
| $ DS_{T,p} =\displaystyle\frac{ C_p }{ T }$ |
resulta con capacidad calórica con presión constante $J/K$, temperatura $K$ y variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$
| $ C_V = C_p - V T \displaystyle\frac{ k_T ^2}{ k_p }$ |
ID:(3613, 0)
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