Conceptos

(ID 2051)

Camino Libre

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A medida que la part cula avanza con una velocidad v recorrer en un tiempo dt la distancia dl. Si la probabilidad de choque por unidad de tiempo es \omega entonces la probabilidad de choque en el tiempo dt ser \omega dt. Por ello la probabilidad de que no sufra choque en el tiempo dt es 1-\omega dt. Si P(t) es la probabilidad de que la part cula ha permanecido el tiempo t sin chocar entonces la probabilidad de que tras el tiempo t+dt no haya chocado es igual a\\n\\n

$P(t+dt)=(1-\omega dt)P(t)$

\\n\\nSi de desarrolla la probabilidad en dt se obtiene la ecuaci n diferencial para P(t):\\n\\n

$\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\frac{dP}{dt}=-\omega$

Si se integra esta ecuaci n se obtiene con la probabilidad de que una part cula permanezca un tiempo t sin chocar contra:

(ID 4193)

Como la probabilidad de no chocar es con probabilidad de no chocar $-$, probabilidad de no chocar por unidad de tiempo $-$ und tiempo $s$

\\n\\nla probabilidad de chocar entre el tiempo t y t+dt es igual a\\n\\n

${\cal P}dt=P(t)-P(t+dt)=-\displaystyle\frac{dP}{dt}dt$

Con la probabilidad de no chocar antes indicada la probabilidad de chocar entre el tiempo t y t+dt es con probabilidad de no chocar $-$, probabilidad de no chocar por unidad de tiempo $-$ und tiempo $s$

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Con la probabilidad de chocar entre el tiempo t y t+dt se puede estimar el tiempo medio entre choque y choque con\\n\\n

$\tau=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-\omega t}\omega t dt$

lo que arroja con

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Si la velocidad de la part cula es v y el tiempo medio entre choque y choque \tau entonces el camino libre sera con

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Secci n eficaz total

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Si el tiempo medio entre dos colisiones es \tau y la velocidad relativa entre las part culas que colisionan \bar{V} el camino recorrido sera \\n\\n

$\bar{V}\tau$

\\n\\nComo la secci n eficaz total \sigma_0 es equivalente a la secci n que ofrece una part cula para ser impactada, el volumen\\n\\n

$\sigma_0\bar{V}\tau$

\\n\\nes tal que solo contendr la part cula impactada. Por ello, si la concentraci n es c_N se debe dar que\\n\\n

$\sigma_0\bar{V}\tau c_N=1$

Con ello el tiempo medio entre dos choques consecutivos ser con igual a

(ID 4197)

Cuando las part culas se mueven la velocidad v pasa a ser la diferencia de la velocidad de ambas part culas\\n\\n

$\vec{V}=\vec{v}_2-\vec{v}_1$

\\n\\nSu valor medio sera por ello\\n\\n

$\bar{V}=\sqrt{v_1^2+v_2^2-2\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2}$

\\n\\nComo no existe una direcci n privilegiada se puede asumir que\\n\\n

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2\sim 0$

\\n\\ny como\\n\\n

$v_1^2\sim v_2^2\sim v^2$

\\n\\ncon v la velocidad media de cada part cula, la velocidad relativa es\\n\\n

$\bar{V}=\sqrt{2}v$

Como el camino libre es con camino libre $m$, tiempo medio entre choques $s$ und velocidad media en una dirección $m/s$

y el tiempo entre choques con concentración $1/m^3$, sección eficaz total $m^2$, tiempo medio entre choques $s$ und velocidad relativa media $m/s$

se tiene que con el promedio de velocidad relativa con concentración $1/m^3$, sección eficaz total $m^2$, tiempo medio entre choques $s$ und velocidad relativa media $m/s$

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