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Ecuación de Langevin
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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.
ID:(1139, 0)
El movimiento Brownieano
Definición
Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.
ID:(9118, 0)
Ecuación de Langevin
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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.
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Cálculos
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Ecuaciones
Ejemplos
Robert Brown, un bi logo, observo bajo su microscopio como part culas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendr a que deber a fuerza ejercidas por part culas en el agua. En general podemos asumir que part culas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que act an sobre ellas.
Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la part cula tiene una masa
La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media
La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n
$\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)$
se tiene que con con
que con
dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.
Si se promedia la ecuaci n de movimiento con
$\bar{F}\sim 0$
se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la part cula con
Si se promedia la ecuaci n de movimiento con
para tiempos mas cortos y si la funci n
reducir la ecuaci n de movimiento con
Considerando la ecuaci n de la velocidad media con
,
la de la fluctuaci n con
,
el modelo de la fuerza aleatoria con
,
y que la velocidad de la part cula es la suma de una velocidad media y una fluctuaci n con
,
se puede proponer la ecuaci n de Langevin con
Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersi n en el tiempo. Para ello se debe calcular
se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuaci n de Langevin.
Si se multiplica la ecuaci n de Lagevin con
$m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle$
\\n\\nComo\\n\\n
$ \displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle = \langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle + \langle v^2\rangle$
y con el teorema de equipartici n con
se tiene la ecuaci n con
Si se integra la ecuaci n con
$\langle xv\rangle(0)=0$
se obtiene con
En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersi n con
y la ecuaci n de Langevin en la forma con
llevan a que el cuadrado de la dispersi n sea proporcional al tiempo con
La soluci n de dispersi n de las part culas con
se reduce en el limite en que
La soluci n de dispersi n de las part culas con
se reduce en el limite en que
ID:(1139, 0)