Druyd:Knowledge

Modelo Cuánticos del Sólidos

Storyboard

Una de las aplicaciones es el calculo de la función partición de un solido. Para ello se representa a través de una serie de osciladores armónicos mecánico cuánticos modelando en distintas formas los modos de oscilaciones de la estructura.

>Modelo

ID:(487, 0)

Modelo de solido

Concepto

Un solido se puede describir como un sistema de partículas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilación se asocia a la energía interna y con ello a la temperatura de este.

ID:(1579, 0)

Modelo Cuánticos del Sólidos

Descripción

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

kg m/s

$\hbar$

hbar

Constante de Planck dividida por $2\pi$

J s

$\sigma$

sigma

Densidad de modos del solido

$\epsilon_r$

epsilon_r

Energía del estado $r$

$E_n$

E_n

Energía interna del solido mecánico cuántico

$V_0$

V_0

Energía macroscopica, deformación y constitución

$V_0$

V_0

Energía potencial de deformación macroscopica

$\omega_r$

omega_r

Frecuencia angular propia del oscilador armónico

rad/s

$Z$

Función partición del solido clásico

$Z$

Función partición del solido mecánico cuántico

$H$

Hamiltoneano del oscilador armónico

$\ln Z$

ln Z

Logaritmo de la función partición mecánico cuántico

$m$

Masa de la partícula

$n_r$

n_r

Numero cuántico del oscilador armónico

$N$

Numero de partículas

$q_r$

q_r

Posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio

$\dot{q}_r$

vq_r

Velocidad de la partícula r

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

eta =-(1/ N )*( V_0 +(1/2)*@SUM( hbar * omega_r , r , 1 , 3* N ))

(ID 3894)

$ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

Z =@SUM( exp( beta * eta - beta *@SUM( hbar * omega_r , r , 0 , n_r )), n_1 ,n_2 , ..., 3* N )

(ID 3895)

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

ln Z=beta*N*eta-int_0^infty domega*ln(1-e^(-beta*hbar*omega))*sigma(omega)

(ID 3896)

$ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

H = V_0 +(1/2)* m *@SUM( vq_r ^2+ omega_r ^2 q_r ^2 , r , 1 , 3* N )

(ID 4800)

$ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

epsilon_r =( n_r +1/2)* hbar * omega_r

(ID 4801)

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

E_n1n2n3N = V_0 +@SUM(( n_r +1/2)* hbar * omega_r , r , 0 , 3* N )

(ID 4802)

$ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

Z =exp( beta * eta * N )*@PROD(@SUM( exp(- beta * n_r * hbar * omega_r ), n_r , 0 , infty ), r , 0, 3 N )

(ID 9499)

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

Z=e^( beta * eta * N )*@PROD(1/(1-e^(- beta * hbar * omega_r )), r , 1 , 3* N )

(ID 9500)

$ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

ln Z = beta * N * eta -@SUM( ln(1-exp(- beta * hbar *omega_r ), r , 1 , 3* N )

(ID 9501)

$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

eta = -( V_0 + @INT( hbar * omega * sigma , omega , 0 , infty )/2)/ N

(ID 9540)

Ejemplos

Modelo de solido

Un solido se puede describir como un sistema de part culas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilaci n se asocia a la energ a interna y con ello a la temperatura de este.

(ID 1579)

ID:(487, 0)