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Paradoja de Gibbs

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Si uno tiene dos sistemas idénticos y los junta pasa a tener el doble de volumen y el doble del número de partículas. En dicho contexto la energía interna de ambos sistemas debe y es igual a la suma de aquella de cada sistema por separado. Sin embargo si se calcula la entropia resulta que la del sistema sumado es distinta al de la suma de las entropias de cada sistema por separado lo que no tiene sentido. Esta contradicción es la llamada paradoja de Gibbs y su resolución tiene implicaciones profundas sobre como se comporta la naturaleza. Su solución hace necesario aceptar que las partículas de los sistemas que se están estudiando son indistinguibles o sea no tienen algo que las hace distinguibles.

>Modelo

ID:(471, 0)

Paradoja de Gibbs

Descripción

Si se tiene un volumen de gas V a una temperatura T su entropía sería

$ S = k_B N \left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_B T + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nSi ahora consideramos un volumen del doble de tamaño, o sea de 2V y de doble número de partículas o sea 2N, se tendría que tener que la entropía también se duplicaría o sea 2S ya que tanto el volumen como la entropía son variables extensibles. Sin embargo si se calcula la entropía para un volumen 2V se obtiene\\n\\n

$S=k_B2N\left(\ln 2V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_BT + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nlo que no es igual a el doble de la entropía. El problema esta en que\\n\\n

$2k_BN\ln V \neq k(2N)\ln(2V)$

El problema de que la entropía no resulte extensible se denomina la paradoja de Gibbs y apunta a que en el calculo de la función partición se omitió un termino.

ID:(653, 0)

Paradoja de Gibbs

Modelo

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

1/J

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$h$

Constante de Planck

J s

$E_r$

E_r

Energía del estado $r$

$S$

Entropía de un gas ideal

J/K

$Z$

Función partición

$m$

Masa de la partícula

$N$

Numero de partículas

$r$

Numero del estado $r$

$T$

Temperatura

$V$

Volumen

m^3/mol

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$ S = k_B N \left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_B T + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

S = k_B * N *(ln( V )+ 3*ln( k_B * T )/2+ 3*ln(2* pi * m / h ^2)/2+3/2)

(ID 652)

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ N! }\sum_ r e^{- \beta E_r }$

Z =@SUM(exp(- beta * E_r ), r )/@FAC( N )

(ID 654)

Ejemplos

Paradoja de Gibbs

Si se tiene un volumen de gas V a una temperatura T su entrop a ser a

$ S = k_B N \left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_B T + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nSi ahora consideramos un volumen del doble de tama o, o sea de 2V y de doble n mero de part culas o sea 2N, se tendr a que tener que la entrop a tambi n se duplicar a o sea 2S ya que tanto el volumen como la entrop a son variables extensibles. Sin embargo si se calcula la entrop a para un volumen 2V se obtiene\\n\\n

$S=k_B2N\left(\ln 2V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_BT + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nlo que no es igual a el doble de la entrop a. El problema esta en que\\n\\n

$2k_BN\ln V \neq k(2N)\ln(2V)$

El problema de que la entrop a no resulte extensible se denomina la paradoja de Gibbs y apunta a que en el calculo de la funci n partici n se omiti un termino.

(ID 653)

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