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Modelo de Debye

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El modelo de Debye considera que en el solido se pueden propagar ondas de sonido con velocidades longitudinales y transversales. De dichas relaciones se estima la densidad de modos permitiendo el calculo explicito de la función partición.

>Modelo

ID:(526, 0)

Modelo de Debye

Descripción

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda serán en cada dimensión del tipo\\n\\n

$\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}$

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

ID:(1394, 0)

Comparación entre modelos

Php

Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)

Modelo de Debye

Descripción

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\beta$

beta

Beta

kg m/s

$C_V$

C_V

Capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye

J/K

$k_B$

k_B

Constante de Boltzmann

J/K

$\hbar$

hbar

Constante de Planck dividida por $2\pi$

J s

$\sigma_D$

sigma_D

Densidad de modos del solido de Debye

$U$

Energía interna del solido de Debye

$V_0$

V_0

Energía macroscopica, deformación y constitución

$\omega$

omega

Frecuencia angular

rad/s

$\omega_D$

omega_D

Frecuencia angular de corte de Debye

1/s

$\ln Z$

ln Z

Logaritmo de la función partición del solido de Debye

$N$

Numero de partículas

$T$

Temperatura

$\Theta_D$

Theta_D

Temperatura de Debye

$c_s$

c_s

Velocidad del sonido efectiva

m/s

$V$

Volumen del cuerpo

m^3

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$ U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega $

U = N * eta +@INT( hbar * w /(exp( beta * hbar * w )-1) w ^2, w , 0 , w_D )

(ID 3897)

$ C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$

C_V = k_B *@INT(( hbar * omega )^3* beta ^2* hbar * omega^2 /(exp( beta * hbar * omega )-1)^2, omega, 0,infty )

(ID 3898)

$ C_V = 3 N k_B $

C_V = 3* N * k_B

(ID 3899)

$ \sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega $

sigma_D( omega ) domega =3 * V /(2* pi ^2* c_s ^3)* omega ^2* domega

(ID 3900)

$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

omega_D = c_s (6* pi ^2* N / V )^1/3

(ID 3901)

$ C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx $

C_V = k_B * (3* V /(2* pi ^2* c_s * beta *hbar )^3) * @INTEGARTE( exp( x )/(exp( x )-1)^2), x , 0 , beta * hbar * omega_D )

(ID 3902)

$ C_V =3 N k_B f_D( \Theta_D / T )$

C_V =3 * N * k_B * f_D( \Theta_D / T )

(ID 3905)

$ C_V =\displaystyle\frac{12 \pi ^4}{5} N k_B \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_D }\right)^3$

C_V =12* pi ^4* N * k_B *( T / Theta_D )^3/5

(ID 3906)

$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$

ln Z_D =- beta * N * eta +(9* N / w_D ^3)*@INTEGRATE( w ^2 ln(1-exp(- beta * hbar * w )), w , 0 , w_D )

(ID 9562)

$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $

sigma_D( omega ) * domega =9* N * omega ^2* delta( omega_D - omega )* domega / omega_D ^3

(ID 9563)

$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$

\omega=c_s\mid\vec{k}\mid

(ID 13260)

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$

\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2

(ID 13261)

$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$

\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)

(ID 13401)

$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$

\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}

(ID 13402)

$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$

\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})

(ID 13403)

Ejemplos

Modelo de Debye

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador arm nico mec nico cu ntico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda ser n en cada dimensi n del tipo\\n\\n

$\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}$

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

(ID 1394)

Comparaci n entre modelos

Si se consideran los modelos cl sicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la funci n partici n
- la energ a interna
- el calor espec fico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

(ID 9560)

ID:(526, 0)