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Estructura
Descripción
Los cristales esta compuesto de atomos. Cada atomo se encuentra en una posición defindia. Las posiciones no son aleatorias y presentan una estructura propia del material.
Hasta 1982 se definia un tipo de cristal sin una estructura de atomos con una celda fundamental periodica. En dicho año se descubrieron sistemas que presentaban periocidad pero no necesariemente de una sola celda fundamental. Estos se denominaron cuasicristales (ej. la aleación Al-Pd-Mn).
En 1991 se redefino el concepto de cristales como sistemas que presentan un diagramas de difracción discretos.
ID:(7693, 0)
Celda Unitaria
Ecuación
Al repetire un patron a lo largo del cristal se puede eterminar una celda unitaria que se repite periodicamente formando asi la estructura.
Si se define un atomo como el origen de la celda, su equivalente en otras celdas se encontraran en posiciones que son multiplos de vectores base $\vec{a}_i$ de la forma que la posición de cualquier otro origen se encontrará en
$\vec{T}=n_1\vec{a}_1+n_2\vec{a}_2+n_3\vec{a}_3$
Los vectores base $\vec{a}_i$ que son propios de la estructura mientars que los $n_i$ pueden asumir cualquier valor entereo.
De ser periodico e infinito el cristal, el vector $\vec{T}$ representa una simetria de traslación ya que un desplazamiento en
$\vec{x}\rightarrow \vec{x}+\vec{T}$
no altera el entrono del punto observado.
ID:(7694, 0)
Parametros mínimos
Descripción
Los vectores $\vec{a}_i$ corresponden a 9 distintas coorednadas.
Sin embargo, como podemos definir en que dirección apunta por ejemplo $\vec{a}_i$ hay dos grados de libertad que se pueden fijar en forma arbitraria.
Como ademas se puede rotar la celda en torno a la misma dirección $\vec{a}_i$ las 9 cooredenaddas se reducen a solo 6 parametros que definen la celda completamente.
Por ello basta con:
* definir las magnitides de los tres vectores $\vec{a}_i$
* definir los angulos entre los vectores $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$ con $\vec{a}_1$
* definir el ángulo entre $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$
ID:(7703, 0)
Largo del vector $a$
Ecuación
El largo del vector $\vec{a}_1$ lo denominaremos $a$ y se calcula directamente del producto punto:
$a=\sqrt{\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1}$
ID:(7704, 0)
Largo del vector $b$
Ecuación
El largo del vector $\vec{a}_2$ lo denominaremos $b$ y se calcula directamente del producto punto:
$b=\sqrt{\vec{a}_2\cdot\vec{a}_2}$
ID:(7705, 0)
Largo del vector $c$
Ecuación
El largo del vector $\vec{a}_3$ lo denominaremos $c$ y se calcula directamente del producto punto:
$c=\sqrt{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_3}$
ID:(7706, 0)
Angulo $\alpha$ entre vector $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$
Ecuación
El angulo entre el vector $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$ se calcula directamente del producto punto:
$\cos\alpha=\displaystyle\frac{\vec{a}_2\cdot\vec{a}_3}{bc}$
ID:(7708, 0)
Angulo $\beta$ entre vector $\vec{a}_3$ y $\vec{a}_1$
Ecuación
El angulo entre el vector $\vec{a}_3$ y $\vec{a}_1$ se calcula directamente del producto punto:
$\cos\beta=\displaystyle\frac{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_1}{ca}$
ID:(7709, 0)
Angulo $\gamma$ entre vector $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_2$
Ecuación
El angulo entre el vector $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_2$ se calcula directamente del producto punto:
$\cos\gamma=\displaystyle\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{a}_2}{ab}$
ID:(7707, 0)
Calculo del vector $\vec{a}_3$
Ecuación
Si se supone que el vactor $\vec{a}_3$ es paralelo al eje $\hat{z}$ se puede calcular con el largo $c$ mediante
$\vec{a}_3=c\hat{z}=(0,0,c)$
ID:(7710, 0)
Calculo del vector $\vec{a}_1$
Ecuación
Si se supone que el vactor $\vec{a}_1$ estan en el plano formado por los versores $\hat{z}$ y $\hat{x}$ se tiene que
$\vec{a}_1=a_{1x}\hat{x}+a_{1z}\hat{z}$
Como el angulo entre $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_3$ es
$\cos\beta=\displaystyle\frac{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_1}{ca}$
y se tiene que
$\vec{a}_3=c\hat{z}$
con lo que
$\cos\beta=\displaystyle\frac{a_{1z}}{a}$
Por ello el vector $\vec{a}_1$ es igual a
$\vec{a}_1=a\sin\beta\hat{x}+a\cos\beta\hat{z}$
ID:(7711, 0)