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Interceptar a aceleración constante
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Los objetos pueden cruzarse cuando coinciden en posición en el mismo instante. Para lograrlo, deben moverse desde sus respectivas posiciones y velocidades iniciales con aceleraciones que les permitan coincidir en posición y tiempo al final del recorrido.
ID:(1412, 0)
Variación de la velocidad y duración
Concepto
En un escenario de movimiento de dos cuerpos, el primero modifica su velocidad en la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) durante una duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) con la aceleración del primer cuerpo ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, el segundo cuerpo avanza, modificando su velocidad en la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$) durante un lapso de tiempo de la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$) con la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Representado gráficamente, obtenemos un diagrama de velocidad y tiempo como se muestra a continuación:
La clave aquí es que los valores la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) y la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$), y los valores la duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) y la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$), son tales que ambos cuerpos llegan a coincidir en el lugar y en el tiempo.
ID:(12512, 0)
Velocidad y tiempos de intersección
Concepto
En el caso de dos cuerpos, el movimiento del primero puede describirse mediante una función que involucra los puntos el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), el tiempo de intersección ($t$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$) y la velocidad final del primer cuerpo ($v_1$), representada por una recta con una pendiente de la aceleración del primer cuerpo ($a_1$):
| $ v_1 = v_{01} + a_1 ( t - t_1 )$ |
Para el movimiento del segundo cuerpo, definido por los puntos la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la velocidad final del segundo cuerpo ($v_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$) y el tiempo de intersección ($t$), se utiliza una segunda recta con una pendiente de la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$):
| $ v_2 = v_{02} + a_2 ( t - t_2 )$ |
Esto se representa de la siguiente manera:
ID:(12515, 0)
Evolución de la posición de los cuerpos
Concepto
En el caso de un movimiento de dos cuerpos, la posición en la que termina la trayectoria del primero coincide con la del segundo cuerpo en la posición de la intersección ($s$).
Del mismo modo, el tiempo en el que termina la trayectoria del primero coincide con el del segundo cuerpo en el tiempo de intersección ($t$).
Para el primer cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del primer objeto ($s_1$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$), la aceleración del primer cuerpo ($a_1$), el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), según:
| $ s = s_1 + v_{01} ( t - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t - t_1 )^2$ |
Mientras que para el segundo cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del segundo objeto ($s_2$), la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$), según:
| $ s = s_2 + v_{02} ( t - t_2 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t - t_2 )^2$ |
Esto se representa como:
ID:(12513, 0)
Interceptar a aceleración constante
Modelo
Los objetos pueden cruzarse cuando coinciden en posición en el mismo instante. Para lograrlo, deben moverse desde sus respectivas posiciones y velocidades iniciales con aceleraciones que les permitan coincidir en posición y tiempo al final del recorrido.
Variables
Cálculos
a 
,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
(ID 4355)
Ejemplos
(ID 15399)
En un escenario de movimiento de dos cuerpos, el primero modifica su velocidad en la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) durante una duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) con la aceleración del primer cuerpo ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, el segundo cuerpo avanza, modificando su velocidad en la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$) durante un lapso de tiempo de la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$) con la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Representado gr ficamente, obtenemos un diagrama de velocidad y tiempo como se muestra a continuaci n:
La clave aqu es que los valores la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) y la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$), y los valores la duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) y la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$), son tales que ambos cuerpos llegan a coincidir en el lugar y en el tiempo.
(ID 12512)
En el caso de dos cuerpos, el movimiento del primero puede describirse mediante una funci n que involucra los puntos el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), el tiempo de intersección ($t$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$) y la velocidad final del primer cuerpo ($v_1$), representada por una recta con una pendiente de la aceleración del primer cuerpo ($a_1$):
| $ v_1 = v_{01} + a_1 ( t - t_1 )$ |
Para el movimiento del segundo cuerpo, definido por los puntos la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la velocidad final del segundo cuerpo ($v_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$) y el tiempo de intersección ($t$), se utiliza una segunda recta con una pendiente de la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$):
| $ v_2 = v_{02} + a_2 ( t - t_2 )$ |
Esto se representa de la siguiente manera:
(ID 12515)
En el caso de un movimiento de dos cuerpos, la posici n en la que termina la trayectoria del primero coincide con la del segundo cuerpo en la posición de la intersección ($s$).
Del mismo modo, el tiempo en el que termina la trayectoria del primero coincide con el del segundo cuerpo en el tiempo de intersección ($t$).
Para el primer cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del primer objeto ($s_1$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$), la aceleración del primer cuerpo ($a_1$), el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), seg n:
| $ s = s_1 + v_{01} ( t - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t - t_1 )^2$ |
Mientras que para el segundo cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del segundo objeto ($s_2$), la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$), seg n:
| $ s = s_2 + v_{02} ( t - t_2 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t - t_2 )^2$ |
Esto se representa como:
(ID 12513)
(ID 15402)
ID:(1412, 0)