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Interceptar em aceleração angular constante
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Os objetos podem cruzar-se quando coincidem no ângulo no mesmo instante. Para isso, devem mover-se desde os seus respectivos ângulos e velocidades angulares iniciais com acelerações angulares que lhes permitam coincidir no ângulo e no tempo no final do percurso.
ID:(1451, 0)
Evolução do ângulo dos corpos
Citar
No caso de um movimento de dois corpos, o ângulo em que a trajetória do primeiro termina coincide com o do segundo corpo em la ângulo de intersecção ($\theta$).
Da mesma forma, o tempo em que a trajetória do primeiro termina coincide com a do segundo corpo em o tempo de interseção ($t$).
Para o primeiro corpo, la ângulo de intersecção ($\theta$) depende de o ângulo inicial do primeiro corpo ($\theta_1$), la velocidade angular inicial do primeiro corpo ($\omega_{01}$), la aceleração angular do primeiro corpo ($\alpha_1$), o tempo inicial do primeiro objeto ($t_1$), conforme:
| $ \theta = \theta_1 + \omega_{01} ( t - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_1 ( t - t_1 )^2$ |
Enquanto que para o segundo corpo, la ângulo de intersecção ($\theta$) depende de o ângulo inicial do segundo corpo ($\theta_2$), la velocidade angular inicial do segundo corpo ($\omega_{02}$), la aceleração angular do segundo corpo ($\alpha_2$), o tempo inicial do segundo objeto ($t_2$), conforme:
| $ \theta = \theta_2 + \omega_{02} ( t - t_2 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_2 ( t - t_2 )^2$ |
Isso é representado como:
ID:(12514, 0)
Interceptar em aceleração angular constante
Descrição
Os objetos podem cruzar-se quando coincidem no ângulo no mesmo instante. Para isso, devem mover-se desde os seus respectivos ângulos e velocidades angulares iniciais com acelerações angulares que lhes permitam coincidir no ângulo e no tempo no final do percurso.
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
A defini o da acelera o angular m dia baseada no ngulo percorrido
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e no tempo decorrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A rela o entre os dois definida como a acelera o angular m dia
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
(ID 3234)
A defini o da acelera o angular m dia baseada no ngulo percorrido
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e no tempo decorrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A rela o entre os dois definida como a acelera o angular m dia
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
(ID 3234)
Dado que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
deduz-se que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Assumindo que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la aceleração angular constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
e supondo que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la aceleração constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
obt m-se a seguinte equa o:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Dado que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
deduz-se que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Assumindo que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) igual a la aceleração angular constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
e supondo que la aceleração média ($\bar{a}$) igual a la aceleração constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
obt m-se a seguinte equa o:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Se assumirmos que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) constante, equivalente a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), ent o a seguinte equa o se aplica:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Portanto, considerando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto com la velocidade angular ($\omega$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) em rela o a o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
a equa o para la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pode ser expressa como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Resolvendo isso, obtemos:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
Se assumirmos que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) constante, equivalente a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), ent o a seguinte equa o se aplica:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Portanto, considerando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto com la velocidade angular ($\omega$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) em rela o a o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
a equa o para la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pode ser expressa como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Resolvendo isso, obtemos:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) como fun o de o tempo ($t$) segue uma rela o linear com o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$) na forma:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que o deslocamento angular igual rea sob a curva de velocidade angular-tempo, neste caso, pode-se adicionar as contribui es do ret ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
e do tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Isso nos leva express o para o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) como fun o de o tempo ($t$) segue uma rela o linear com o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$) na forma:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que o deslocamento angular igual rea sob a curva de velocidade angular-tempo, neste caso, pode-se adicionar as contribui es do ret ngulo:
$\omega_0(t-t_0)$
e do tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Isso nos leva express o para o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Se resolvermos o tempo na equa o de la velocidade angular ($\omega$) que inclui as vari veis la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la aceleração angular constante ($\alpha_0$):
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos a seguinte express o para o tempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta solu o pode ser substitu da na equa o para calcular o ângulo ($\theta$) usando o ângulo inicial ($\theta_0$) da seguinte forma:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
o que resulta na seguinte equa o:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Se resolvermos o tempo na equa o de la velocidade angular ($\omega$) que inclui as vari veis la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la aceleração angular constante ($\alpha_0$):
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos a seguinte express o para o tempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta solu o pode ser substitu da na equa o para calcular o ângulo ($\theta$) usando o ângulo inicial ($\theta_0$) da seguinte forma:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
o que resulta na seguinte equa o:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Exemplos
(ID 15416)
Em um cen rio de movimento de dois corpos, o primeiro altera la diferença de velocidade angular do primeiro corpo ($\Delta\omega_1$) durante la tempo de percurso do primeiro objeto ($\Delta t_1$) com la aceleração angular do primeiro corpo ($\alpha_1$).
| $ \alpha_1 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, o segundo corpo avan a, alterando la diferença de velocidade angular do segundo corpo ($\Delta\omega_2$) durante la tempo de percurso do segundo objeto ($\Delta t_2$) com la aceleração angular do segundo corpo ($\alpha_2$).
| $ \alpha_2 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Representado graficamente, obtemos um diagrama de velocidade e tempo como mostrado abaixo:
A chave aqui que os valores la diferença de velocidade angular do primeiro corpo ($\Delta\omega_1$) e la diferença de velocidade angular do segundo corpo ($\Delta\omega_2$), e os valores la tempo de percurso do primeiro objeto ($\Delta t_1$) e la tempo de percurso do segundo objeto ($\Delta t_2$), s o tais que ambos os corpos coincidem em ngulo e tempo.
(ID 10579)
No caso de dois corpos, o movimento do primeiro pode ser descrito por uma fun o que envolve os pontos la velocidade angular inicial do primeiro corpo ($\omega_{01}$), la velocidade angular final do primeiro corpo ($\omega_1$), o tempo de interseção ($t$) e o tempo inicial do primeiro objeto ($t_1$), representada por uma reta com uma inclina o de la aceleração angular do primeiro corpo ($\alpha_1$):
| $ \omega_1 = \omega_{01} + \alpha_1 ( t - t_1 )$ |
Para o movimento do segundo corpo, definido pelos pontos la velocidade angular inicial do segundo corpo ($\omega_{02}$), la velocidade angular final do segundo corpo ($\omega_2$), o tempo inicial do segundo objeto ($t_2$) e o tempo de interseção ($t$), utiliza-se uma segunda reta com uma inclina o de la aceleração angular do segundo corpo ($\alpha_2$):
| $ \omega_2 = \omega_{02} + \alpha_2 ( t - t_2 )$ |
Isso representado como:
(ID 9872)
No caso de um movimento de dois corpos, o ngulo em que a trajet ria do primeiro termina coincide com o do segundo corpo em la ângulo de intersecção ($\theta$).
Da mesma forma, o tempo em que a trajet ria do primeiro termina coincide com a do segundo corpo em o tempo de interseção ($t$).
Para o primeiro corpo, la ângulo de intersecção ($\theta$) depende de o ângulo inicial do primeiro corpo ($\theta_1$), la velocidade angular inicial do primeiro corpo ($\omega_{01}$), la aceleração angular do primeiro corpo ($\alpha_1$), o tempo inicial do primeiro objeto ($t_1$), conforme:
| $ \theta = \theta_1 + \omega_{01} ( t - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_1 ( t - t_1 )^2$ |
Enquanto que para o segundo corpo, la ângulo de intersecção ($\theta$) depende de o ângulo inicial do segundo corpo ($\theta_2$), la velocidade angular inicial do segundo corpo ($\omega_{02}$), la aceleração angular do segundo corpo ($\alpha_2$), o tempo inicial do segundo objeto ($t_2$), conforme:
| $ \theta = \theta_2 + \omega_{02} ( t - t_2 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_2 ( t - t_2 )^2$ |
Isso representado como:
(ID 12514)
(ID 15427)
ID:(1451, 0)