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Cuando consideramos un flujo laminar de un fluido viscoso a través de un tubo, se forma un patrón en el que la velocidad es máxima en el centro y nula en el borde. El flujo total está directamente relacionado con el perfil cilíndrico del radio elevado a la cuarta potencia y, a su vez, es inversamente proporcional a la viscosidad del fluido.

>Modelo

ID:(876, 0)

Concepto

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ID:(15491, 0)

Concepto

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Cuando se expone un tubo lleno de líquido con viscosidad ($\eta$) a la presión en la posición inicial ($p_i$) en el posición al inicio del tubo ($L_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$) en el posición al final del tubo ($L_e$), se genera una diferencia de presión ($\Delta p$) a lo largo de el largo de tubo ($\Delta L$), lo que da como resultado el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$):

En flujos con valores bajos de el número de Reynold ($Re$), donde la viscosidad es más significativa que la inercia del líquido, el flujo se desarrolla de manera laminar, es decir, sin la presencia de turbulencias.

ID:(2218, 0)

Concepto

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En el flujo laminar, capas contiguas se desplazan y existe una fuerza generada por la viscosidad entre ellas. La capa más rápida arrastra a su vecina más lenta, mientras que la más lenta restringe el avance de la más rápida.

Por lo tanto, la fuerza la fuerza viscosa ($F_v$) generada por unas superficies paralelas ($S$) sobre la otra es una función de una diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$), una distancia entre las superficies ($\Delta z$) y una viscosidad ($\eta$), como se muestra en la siguiente ecuación:

y en el diagrama correspondiente:

ID:(7053, 0)

Concepto

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El flujo laminar alrededor de un cilindro se puede representar como múltiples capas cilíndricas que se deslizan bajo la influencia de las capas adyacentes. En ese caso, la fuerza viscosa ($F_v$) con el largo de tubo ($\Delta L$), la viscosidad ($\eta$), y las variables la posición radial en cilindro ($r$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$) se expresa como:

La capa en el borde a un radio del cilindro ($R$) no se mueve debido al efecto del borde y, a través de la viscosidad ($\eta$), ralentiza la capa contigua que sí tiene velocidad.

El centro es la parte que se mueve a la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$), arrastrando a la capa que lo rodea. A su vez, esta capa arrastra a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la capa en contacto con la pared del cilindro, que está detenida.

De esta manera, el sistema transfiere energía desde el centro hasta la pared, generando un perfil de velocidad representado por:

con:

ID:(7057, 0)

Concepto

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Durante un tiempo transcurrido ($\Delta t$), el fluido con una velocidad media del fluido ($v$) se desplaza un elemento del tubo ($\Delta s$). Si la sección ($S$) es la cantidad de fluido que atraviesa dicha la sección ($S$) en el tiempo transcurrido ($\Delta t$), se calcula como:

$\Delta V = S \Delta s = Sv \Delta t$

Esta ecuación indica que el volumen de fluido que fluye a través de la sección ($S$) en un tiempo transcurrido ($\Delta t$) es igual al producto del área de la sección y la distancia recorrida por el fluido en ese tiempo.

Esto permite calcular el elemento de volumen ($\Delta V$) que fluye por el canal en un determinado lapso de el tiempo transcurrido ($\Delta t$) lo que corresponde a el flujo de volumen ($J_V$)

ID:(2212, 0)

Concepto

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El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integración de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.

El resultado es una ecuación que depende de radio del cilindro ($R$) elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.

Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresión:

ID:(2216, 0)

Concepto

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La inercia de un líquido se puede entender como proporcional a la densidad de energía cinética, dada por

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

donde la densidad del líquido ($\rho_w$) y la velocidad media del fluido ($v$).

Si consideramos la la fuerza viscosa ($F_v$) como

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

donde la sección o superficie ($S$), la viscosidad ($\eta$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) del líquido.

Recordemos que la energía es igual a la la fuerza viscosa ($F_v$) multiplicada por la el distancia recorrida ($l$). La densidad de energía perdida por viscosidad será igual a la fuerza multiplicada por la distancia dividida por el volumen $S l$:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Por lo tanto, la relación entre la densidad de energía cinética y la densidad de energía viscosa es igual a un número adimensional, conocido como el número de Reynold ($Re$). Cuando el número de Reynold ($Re$) es mucho mayor que uno, la fuerza de inercia domina sobre la fuerza viscosa y el flujo se vuelve turbulento. Por otro lado, si el número de Reynold ($Re$) es pequeño, la fuerza viscosa domina y el flujo se vuelve laminar.

En resumen, el número de Reynold ($Re$) es un parámetro adimensional que indica la relación entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa en un flujo. Si el número de Reynolds es mucho menor que uno ($Re\ll 1$), la viscosidad domina y el flujo es laminar. Si el número de Reynolds es mayor que uno ($Re\gg 1$), la inercia domina y el flujo es turbulento.

El artículo original en el que Osborne Reynolds introduce el número que lleva su nombre es:

Investigación Experimental de las Circunstancias que Determinan si el Movimiento del Agua Debe Ser Directo o Sinuoso, y de la Ley de Resistencia en Canales Paralelos ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), por Osborne Reynolds, publicado en Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

Concepto

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Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15493, 0)

Ecuación

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Cuando se conectan la presión en la posición inicial ($p_i$) y la presión en la posición final (e) ($p_e$), se genera una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula utilizando la siguiente fórmula:

$ \Delta p = p_e - p_i $

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencia de presión

$Pa$

$p_e$

Presión en la posición final (e)

$Pa$

$p_i$

Presión en la posición inicial

$Pa$

Relación

la diferencia de presión ($\Delta p$) describe la diferencia de presión que moverá el líquido desde la columna más alta hacia la columna más baja.

ID:(14459, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para describir el flujo, se establece un sistema de coordenadas en el cual el líquido fluye de el posición al inicio del tubo ($L_i$) a el posición al final del tubo ($L_e$), lo que implica que la presión en la presión en la posición inicial ($p_i$) es mayor que en la presión en la posición final (e) ($p_e$). Este movimiento dependerá de el largo de tubo ($\Delta L$), el cual se calcula de acuerdo a:

$ \Delta L = L_e - L_i $

Condiciones

Variables

$\Delta L$

Largo del cuerpo

$m$

$L_e$

Posición al final del tubo

$m$

$L_i$

Posición al inicio del tubo

$m$

Relación

ID:(3802, 0)

Ecuación

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La fuerza viscosa ($F_v$) se puede calcular de las superficies paralelas ($S$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) y la distancia entre las superficies ($\Delta z$) mediante:

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

Condiciones

Variables

$\Delta v$

Diferencia de velocidad entre superficies

$m/s$

$\Delta z$

Distancia entre las superficies

$m$

$F_v$

Fuerza viscosa

$N$

$S$

Sección

$m^2$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

ID:(3622, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Una fuerza viscosa ($F_v$) generada por un líquido con viscosidad ($\eta$) entre unas superficies paralelas ($S$) y una distancia entre las superficies ($\Delta z$), junto con una diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$), se calcula como

En el caso de un cilindro, la superficie está definida por largo de tubo ($\Delta L$) y por el perímetro de cada uno de los cilindros internos, que se calcula multiplicando $2\pi$ por el radio de la posición en un tubo ($r$). Con esto, la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) se calcula utilizando la viscosidad ($\eta$) y la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) para el ancho del cilindro el variación del radio en un tubo ($dr$), lo que resulta en:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Condiciones

Variables

$F_v$

Fuerza viscosa

$N$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

Posición radial en cilindro

$m$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$v$

Velocidad en un radio del cilindro

$m/s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Desarrollo

Como 4979 es

$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

y las superficies paralelas ($S$) es

$S=2\pi r \Delta L$

donde el radio de la posición en un tubo ($r$) y el largo de tubo ($\Delta L$), con lo que la la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) es

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

donde la viscosidad ($\eta$), la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) y el variación del radio en un tubo ($dr$).

ID:(3623, 0)

Ecuación

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Al resolver la ecuación de flujo con la condición de borde, obtenemos la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$) como una parábola centrada en la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) y que se anula en el radio del cilindro ($R$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Condiciones

Variables

$r$

Posición radial en cilindro

$m$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$v$

Velocidad en un radio del cilindro

$m/s$

$v_{max}$

Velocidad máxima del flujo

$m/s$

Relación

Desarrollo

La diferencia de presión ($\Delta p$) sobre una sección de área $\pi R^2$, con el radio del cilindro ($R$) como el radio de la curvatura ($r$), genera una fuerza que se representa como:

$\pi r^2 \Delta p$

Esta fuerza impulsa el líquido en contra de la resistencia viscosa, que está dada por:

$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Lo que nos lleva a la ecuación:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Si integramos esta ecuación desde una posición definida por el radio de la curvatura ($r$) hasta el borde donde el radio del cilindro ($R$) (teniendo en cuenta que la velocidad en el borde es nula), podemos obtener la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$):

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Donde:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

es la la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro del flujo.

.

ID:(3627, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El valor de la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro de un cilindro depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro ($R$), y del gradiente creado por la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$), como se representa a continuación:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$v_{max}$

Velocidad máxima del flujo

$m/s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

El signo negativo indica que el flujo siempre se produce en la dirección negativa del gradiente, es decir, desde el área de mayor presión hacia el área de menor presión.

ID:(3628, 0)

Ecuación

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El flujo de volumen ($J_V$) corresponde a la cantidad volumen ($V$) que fluye a través del canal durante un tiempo ($t$). Por lo tanto, se tiene:

$ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$

Condiciones

Variables

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

$t$

Tiempo

$s$

$V$

Volumen

$m^3$

Relación

ID:(12713, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo ($j_s$) se relaciona con la posición ($s$), que es la posición del fluido en el tiempo ($t$), a través de la siguiente ecuación:

$ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m^3/s$

$s$

Posición

$m$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

Desarrollo

ID:(12714, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si consideramos el perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) para un fluido en un canal cilíndrico de radio radio del cilindro ($R$), en el cual la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de un radio de la posición en un tubo ($r$), podemos integrarlo en toda la sección transversal del canal:

$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$

Esto nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille con los parámetros el flujo de volumen ($J_V$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$):

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Desarrollo

Si consideramos el perfil de velocidad en un radio del cilindro ($v$) de un fluido en un canal cilíndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de radio de la posición en un tubo ($r$) de acuerdo con la siguiente expresión:

$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

con el radio del cilindro ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:

$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Si integramos la velocidad en toda la sección transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a radio de la posición en un tubo ($r$) desde $0$ hasta radio del cilindro ($R$). Esta integral se simplifica de la siguiente manera:

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

La integración nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:

• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cilíndricos), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)

• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Investigación experimental sobre el movimiento de líquidos en tubos de diámetros muy pequeños), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(3178, 0)

Ecuación

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El criterio clave para determinar si un medio es laminar o turbulento es el llamado numero de Reynold que compara la energía asociada a la inercia con aquella asociada a la viscosiadad. La primera depende de la densidad del líquido ($\rho_w$), la velocidad máxima ($v_{max}$) y la dimensión típica del sistema ($R$) mientras que la segunda de la viscosidad ($\eta$) con lo que se define:

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

$R$

Dimensión típica del sistema

$m$

$Re$

Número de Reynold

$-$

$v$

Velocidad máxima

$m/s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Desarrollo

La inercia de un medio puede entenderse como proporcional a la densidad de la energía cinética, dada por:

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

donde la densidad del líquido ($\rho_w$) y la velocidad media del fluido ($v$) son.

Si consideramos la fuerza viscosa ($F_v$) como:

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

donde la sección o superficie ($S$), la viscosidad ($\eta$), la velocidad media del fluido ($v$) y la dimensión típica del sistema ($R$) son propiedades del medio.

Recordemos que la energía es igual a la fuerza viscosa ($F_v$) multiplicada por el distancia recorrida ($l$). La densidad de la energía perdida por viscosidad será igual a la fuerza multiplicada por la distancia dividida por el volumen $S l$:

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Por lo tanto, la relación entre la densidad de la energía cinética y la densidad de la energía viscosa es igual a un número adimensional conocido como el número de Reynold ($Re$). Si el número de Reynold ($Re$) es varias órdenes de magnitud mayor que uno, la inercia domina sobre la fuerza viscosa y el flujo se vuelve turbulento. Por otro lado, si el número de Reynold ($Re$) es pequeño, la fuerza viscosa domina y el flujo es laminar.

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

El artículo original en el que Osborne Reynolds introduce el número que lleva su nombre es:

Investigación Experimental de las Circunstancias que Determinan si el Movimiento del Agua Debe Ser Directo o Sinuoso, y de la Ley de Resistencia en Canales Paralelos ("An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels"), por Osborne Reynolds, publicado en Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(3177, 0)

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Video

Video: Ley de Hagen Poiseuille