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Descripción

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El método de Newton permite estimar la raiz de una ecuación cuando no es posible despejar la variable de interés.

Para que sea efectivo se requiere de tener una idea aproximada de donde se encuentra la raíz que se esta buscando. El algoritmo parte de dicho punto y se va acercando succesivamente al valor que corresponde a la raíz.

ID:(564, 0)

Descripción

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En muchos casos el despejar de una variable en una ecuación puede no ser posible. En estos casos se puede recurrir a técnicas en que se calcula una solución aproximada. Estos métodos iteran para obtener la solución por lo que es posible calcular la solución con la exactitud que se necesite. Uno de estos método es el de Newton.

ID:(560, 0)

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Supongamos que se tiene una función

y = f(x)

Si se busca despejar la variable x se debe encontrar un y tal que

x = f^{-1}(y)

En otras palabras se busca un valor x tal que el valor de f(x) sea igual a un y dado.

Esto también se puede planear como encontrar la raíz de una función

g(x)=f(x)-y

es decir el x para un y dado de modo que la raíz de la ecuación es

g(x) = 0

lo que se da cuando la curva g(x) corta el eje:

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Aproximación por una Recta

ID:(1876, 0)

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Primera Iteración

ID:(1879, 0)

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Constante de la Recta

ID:(1878, 0)

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Pendiente de la Recta

ID:(1877, 0)

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Segunda Iteración

ID:(1880, 0)

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Ejemplo: cálculo

ID:(1881, 0)

Ecuación

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En general se puede continuar el proceso las veces que sea necesario para la exactitud que se necesite. En este proceso se calcula una aproximación x_{n+1} en base a la estimación x_n según:

ID:(3450, 0)

Descripción

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Un ejemplo simple es

g(x) = ax + bx^3

Si calculamos la derivada empleando la definición tendremos que con

g(x+\epsilon)=a(x+\epsilon)+b(x+\epsilon)^3=ax+bx^3+(a+3bx^2)\epsilon+3bx\epsilon^2+b\epsilon^3

se obtiene

\displaystyle\frac{g(x+\epsilon)-g(x)}{\epsilon}=a+3bx^2+3bx\epsilon+b\epsilon^2

n el limite \epsilon igual a cero obtenemos asi

g'(x)=a+3bx^2

Reemplazando esta expresión en la ecuación para iterar de Newton se obtiene

x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{ax_n+bx_n^3}{a+3bx_n^2}

ID:(561, 0)