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El camino medio que recorre una part cula por una esfera se puede calcular primero considerando el camino medio en un disco de radio $r$ en el plano $y-z$ lo que es

$\bar{r}_2=\displaystyle\frac{2\int_0^r\sqrt{r^2-z`2}dz}{\int_0^r dz}=\displaystyle\frac{\pi r}{2}$

para luego promediar este valor en el eje $x$ considerando que la cantidad de puntos es proporcional a la altura de la esfera por lo que

$\bar{r}_3=\displaystyle\frac{\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\displaystylefrac{\sqrt{r^2-x^2}\pi}{2}dx}{\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx}=\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}=\displaystyle\frac{4}{3\pi}r$

lo que equivale a aproximadamente $42\%$ del radio $r$.

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