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Calculo Microscópico
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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.
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Calculo Microscópico
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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.
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Cálculos
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Cálculos
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Calcule
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Ejemplos
Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las
$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$
\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen
$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$
Como esto corresponde a una esfera en el espacio
con
Como la entrop a es proporcional al logaritmo del numero de estados con
y su relaci n con la funci n partici n es con
se tiene la relaci n entre n mero de estados
Con la relaci n entre numero de estados y funci n partici n con
y la expresi n para el numero de estados del gas ideal con
se obtiene la expresi n pata la funci n partici n con
Si se busca calcular la funci n de partici n de un gas ideal se debe realizar la integraci n del exponencial de menos beta por la energ as sobre el espacio de fase:\\n\\n
$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$
\\n\\nLa integral de la posici n da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n
$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$
Con ello la funci n partici n del gas ideal resulta con
con
La energ a interna en funci n de la funci n partici n es con
y como la funci n partici n es con
se tiene que la energ a interna es con
Como la funci n partici n de un gas ideal con
por lo que la energ a interna, que se calcula con
resulta con
Como la presi n en funci n de la funci n partici n con
donde
Como la funci n partici n de un gas ideal es con
se tiene que la presi n es con
que corresponde a la ecuaci n de los gases ideales.
En la mec nica estad stica es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$
se tiene que con
Como la capacidad cal rica a volumen constante se define con
y la energ a interna
con
se tiene que
Como la compresibilidad es con
y la presi n se calcula de la funci n partici n con
se tiene que la compresibilidad es con
Con la definici n de la dilataci n t rmica con
Para calcular la variaci n de la presi n con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con
se puede escribir con
$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$
Como con
se tiene que con
Como la relaci n entre las capacidades cl rica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con
Como la entalpia se puede calcular con
se tiene que con
es con
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