Usuario:


Función Partición del Gas Real
Descripción

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$\beta$
beta
Beta
1/J
$h$
h
Constante de Planck
J s
$K$
K
Energía cinética
J
$I$
I
Función $I$
J
$Z$
Z
Función partición
-
$Z_K$
Z_K
Función partición de la energía cinética
J
$Z_U$
Z_U
Función partición del potencial
-
$m$
m
Masa de las partículas
kg
$\vec{p}_i$
&p_i
Momento de la partícula $i$
kg m/s
$N$
N
Numero de partículas
-
$\vec{q}_i$
&q_i
Posición de la partícula $i$
m
$u$
u
Potencial de interacción
J
$U$
U
Potencial de interacción total
J
$V$
V
Volumen
m^3

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Si se toma la relaci n con

$ \ln Z_U = N \ln V -\displaystyle\int_0^{ \beta } \bar{U}( \beta_h )d \beta_h $



y se empela la relaci n con

$\bar{U}=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$



tras integrar se obtiene con

$ \ln Z_U = N \ln V +\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{ N ^2}{ V } I( \beta )$

(ID 3818)

El promedio de la energ a potencial entre dos part culas se puede calcular empleando la distribuci n can nica\\n\\n

$\bar{u}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int d^3q u(q)e^{-\beta u(q)}}{\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}}$

\\n\\nEsta expresi n tambi n se puede generar si se deriva el logaritmo de la integral sobre el exponencial de beta y la funci n potencial\\n\\n

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\int e^{-\beta u(q)}d^3q$

\\n\\nSi escribimos\\n\\n

$\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}=\displaystyle\int [1+(e^{-\beta u(q)}-1)]d^3q=V+I(\beta)$



con la funci n con

$I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr$

y V es el volumen.

(ID 3816)

En el caso de la funci n partici n cl sica debemos contabilizar los estados y recordar que por la paradoja de Gibbs se debe incluir un factor N! por la indistingibilidad de las part culas.

Para facilitar la suma se puede pasar a una aproximaci n continua en que la suma se reduce a una integral en el espacio de fase. En dicho caso los vol menes d^3pd^3q deben ser normados con h^3 donde h es la constante de Planck.

Con ello la funci n partici n de un gas real cl sico no relativista se puede estimar con

$Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}$

(ID 3809)

Si se supone que el potencial solo depende de la posici n la funci n partici n se puede separar en una parte propia de la energ a cin tica Z_K y en una propia de la energ a potencial Z_U.\\n\\n

$Z=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}$



La funci n partici n de N part culas de masa m para la energ a cin tica K es igual a aquella que se da si no existe interacci n entre las part culas por lo que se puede escribir con :

$Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}$

(ID 3810)

Respecto de la energ a potencial U, la funci n partici n asociada a esta se puede describir mediante con

$Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}$

donde se integran las posiciones \vec{q}_i sobre todo el volumen y $\beta$ es el inverso de la constante de Boltzmann k y la temperatura absoluta T.

(ID 3812)

La expresi n de la funci n partici n de la energ a cient fica\\n\\n

$Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}$



se puede integrar en forma exacta obteni ndose con

$ Z_K =\displaystyle\frac{1}{ N !}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2 \beta }\right)^{3 N /2}$

(ID 3811)

ID:(520, 0)