Puedemos estudiar lo que ocurre cuando ponemos dos sistemas de part culas en contacto de manera que puedan intercambiar energ a pero no part culas.

Supongamos adem s que el sistema est aislado del entorno, por lo que tiene una energ a total $E_0$.

Supongamos que inicialmente el primer sistema tiene una energ a de $E$, lo que se asocia con $\Omega(E)$ estados.

Dado que la energ a total es $E_0$, el segundo sistema solo puede tener la energ a $E_0-E$ y un n mero de estados $\Omega(E_0-E)$ asociados.

Una vez que los ponemos en contacto, pueden intercambiar energ a hasta alcanzar alg n equilibrio. En este sentido, el valor de $E$ va a variar, y la probabilidad de encontrar los sistemas de modo que el primero tenga un valor de $E$ tambi n variar .

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Cada sistema $\Omega$ tiene un n mero de estados posibles que depende de su energ a $E$. Por lo tanto, si el sistema que estamos estudiando tiene una energ a $E$, el n mero de estados posibles ser $\Omega(E)$.

El sistema en estudio est en contacto con un reservorio que entrega energ a $E$, de modo que la energ a total es $E_0$ menos la del sistema inmerso, $E$. Por lo tanto, el reservorio tiene $\Omega(E_0 - E)$ estados posibles. La probabilidad de encontrar el sistema total con una energ a $E$ en el sistema inmerso es expresada como el producto del n mero de estados con :

donde $C$ es una constante de normalizaci n. La energ a $E$ ser aquella para la cual la probabilidad sea m xima.

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Si comparamos c mo var a el n mero de estados con la energ a $E$, notaremos que el comportamiento del sistema y del reservorio es inverso:

Esto ocurre porque al aumentar la energ a del sistema, la del reservorio disminuye, lo que a su vez reduce el n mero de estados a los que puede acceder.

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Si multiplicamos el n mero de casos, obtenemos una funci n con un m ximo muy definido.

El sistema tendr una mayor probabilidad de encontrarse en la energ a en la que se encuentra el pico de la curva de probabilidad.

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Si la probabilidad de que dos sistemas aislados del resto, con una energ a total $E_0$ y siendo la energ a de uno de los sistemas $E$, est dada por factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$

Podemos estimar la energ a probable $E$ en la que se encontrar n buscando el m ximo de la probabilidad. Para ello, debemos derivar con respecto a la energ a $E$ e igualar la derivada a cero.

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$

Si dividimos la expresi n por $\Omega\Omega'$ y reemplazamos la diferencia de energ as $E_0-E$ por $E'$, podemos reescribir la condici n para determinar la situaci n m s probable como sigue:

Si existe una probabilidad $P(E)$ de encontrar

$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$

El signo negativo proviene del cambio de variables, ya que con

$E'=E_0-E$

la derivada en $E'$ resulta con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$

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Cuando un sistema est en contacto con un reservorio de energ a $E_0$, es probable encontrarlo con una energ a $E$ para la cual la probabilidad con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$

alcanza su m ximo. La energ a se puede determinar derivando esta expresi n respecto a la energ a $E$ e igual ndola a cero. Esto es equivalente a derivar el logaritmo de la probabilidad:

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Lo que nos lleva a:

$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$

Si realizamos un cambio de variable:

$E' = E_0 - E$

Obtenemos la condici n de equilibrio con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$:

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La condici n de equilibrio de un sistema en contacto con un reservorio se expresa con energía del reservorio $J$, energía del sistema $J$, numero de estados del reservorio con energía $E'$ $-$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$

Esto nos permite introducir una funci n $\beta$ con energía del reservorio $J$, energía del sistema $J$, numero de estados del reservorio con energía $E'$ $-$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ de la siguiente manera:

Esta funci n caracteriza el estado del sistema y es relevante cuando el sistema est en equilibrio con otro sistema.

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Cuando un sistema est en contacto con un reservorio de energ a $E_0$, es probable encontrarlo con una energ a $E$ para la cual, con , la probabilidad

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Por lo tanto, con , obtenemos

$E' = E_0 - E$

obtenemos la condici n de equilibrio con :

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Si asumimos que encontramos el sistema en la energ a para la cual la probabilidad es m xima, podemos asociar este hecho con la situaci n de equilibrio de un sistema, donde la probabilidad es m xima.

Por otro lado, sabemos que dos sistemas est n en equilibrio t rmico si sus temperaturas son iguales. Por lo tanto, el hecho de que las funciones $\beta$ sean iguales nos sugiere que $\beta$ est relacionada con la temperatura.

Dado que las unidades de $\beta$ son el rec proco de la energ a, podemos definirlo de la siguiente manera con :

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Al introducir la relaci n con beta del reservorio $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura del sistema $K$

la condici n de equilibrio con beta del reservorio $1/J$ y beta del sistema $1/J$

se reduce con beta del reservorio $1/J$ y beta del sistema $1/J$ a simplemente

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