Utilizador:
Experimento de despejo de coluna
Definição 
Isso significa que à medida que a coluna vai esvaziando e a altura $h$ diminui, a velocidade $v$ também diminui de forma proporcional.
Os parâmetros-chave são:
• Diâmetro interno do recipiente: 93 mm
• Diâmetro interno do canal de evacuação: 3 mm
• Comprimento do canal de evacuação: 18 mm
Esses parâmetros são importantes para compreender e analisar o processo de esvaziamento da coluna e como a velocidade de saída varia com a altura.
ID:(9870, 0)
Esvaziamento de coluna de líquido viscoso
Descrição
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
(ID 939)
Se considerarmos o perfil de ERROR:5449,0 para um fluido em um canal cil ndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em rela o a ERROR:10120,0 de acordo com a seguinte express o:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
envolvendo o raio do tubo ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se integrarmos a velocidade em toda a se o transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em rela o a ERROR:10120,0 de $0$ a ERROR:5417,0. Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
A integra o resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equa o:
| $ dp = p - p_0 $ |
podemos usar la pressão da coluna de água ($p$), que definida como:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Isso resulta em:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Como la diferença de altura ($\Delta h$) :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
O fluxo definido como o volume o elemento de volume ($\Delta V$) dividido pelo tempo o tempo decorrido ($\Delta t$), conforme expresso na seguinte equa o:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
e o volume igual rea da se o la seção de tubo ($S$) multiplicada pela dist ncia percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Como a dist ncia percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$) por unidade de tempo o tempo decorrido ($\Delta t$) corresponde velocidade, ela representada por:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Assim, o fluxo uma densidade de fluxo ($j_s$), que calculado usando:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Se o fluxo atrav s do tubo descrito pela equa o:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
e a diferen a de press o $\Delta p$ proporcional altura da coluna $\Delta h = h:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
podemos aplicar a conserva o do fluxo $J_{V1}=J_V$ entre o tubo e a coluna $J_{V2}$:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
onde o fluxo na coluna $J_{V2}$ com rea de se o transversal $S$ dado por:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Aqui, a densidade de fluxo $j_s$ corresponde velocidade m dia, que igual taxa de varia o da altura ao longo do tempo:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
Dessa forma, obtemos a equa o para a altura da coluna em fun o do tempo:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Se na equa o
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
as constantes forem substitu das por
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
obtemos a equa o diferencial linear de primeira ordem
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
cuja solu o
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
Exemplos
Se houver uma altura da coluna ($h$) de l quido com la densidade líquida ($\rho_w$) sob o efeito da gravidade, utilizando la aceleração gravitacional ($g$), gerado ERROR:6673 conforme:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Este ERROR:6673 gera, atrav s do tubo de sa da com o comprimento do tubo ($\Delta L$), o raio do tubo ($R$) e la viscosidade ($\eta$), um fluxo de um fluxo de volume 1 ($J_{V1}$) de acordo com a lei de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Como esta equa o inclui la seção no ponto 2 ($S_2$), la densidade de fluxo 2 ($j_{s2}$) pode ser calculado atrav s de:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Com isso, obt m-se:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
que corresponde a uma velocidade m dia.
Para modelar o sistema, os par metros-chave s o:
• Di metro interno do recipiente: 93 mm
• Di metro interno do canal de evacua o: 3,2 mm
• Comprimento do canal de evacua o: 18 mm
A altura inicial do l quido de 25 cm.
(ID 9870)
O fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os par metros la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$), o raio do tubo ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
A diferen a de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a press o em ambas as colunas diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) uma fun o de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Uma das leis mais b sicas na f sica a conserva o da massa, que v lida em todo o nosso mundo macrosc pico. Apenas no mundo microsc pico existe uma convers o entre massa e energia, a qual n o consideraremos neste caso. No caso de um fluido, isso significa que a massa que entra por um tubo deve ser igual que sai dele.
Se a densidade for constante, o mesmo se aplica ao volume. Nestes casos, quando tratamos o fluxo como um fluido incompress vel, significa que um determinado volume que entra em uma extremidade do tubo deve sair pela outra extremidade. Isso pode ser expresso como a igualdade entre o fluxona posição 1 ($J_1$) e o fluxona posição 2 ($J_2$), com a equa o:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
(ID 939)
Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) atrav s da seguinte f rmula:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
O fluxo laminar de um fluido com viscosidade $\eta$ atrav s de um tubo de raio $R$ descrito pela lei de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
A diferen a de press o determinada pela altura da coluna $\Delta h$:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
que diminui medida que o l quido flui para fora. Ao aplicarmos a equa o de continuidade, podemos demonstrar que a altura diminui ao longo do tempo da seguinte maneira:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
O coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$) calculado a partir de la aceleração gravitacional ($g$), la densidade líquida ($\rho_w$), o comprimento do tubo ($\Delta L$), o raio do tubo ($R$), la seção no ponto 2 ($S_2$) e la viscosidade ($\eta$) utilizando:
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
(ID 14521)
La altura da coluna ($h$), como fun o de o tempo ($t$), apresenta um comportamento exponencial com la altura inicial da coluna líquida ($h_0$) e o coluna de tempo característica com Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$):
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
ID:(1969, 0)