(ID 1136)

Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ndern, kann mithilfe der Definition

berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit

erhalten wir

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$

Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

Unter Verwendung beider Ausdr cke ergibt sich die Gleichung

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Damit ndert sich die Energie gem

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Wir k nnen dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren

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Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

ergibt sich:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

resultiert:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:

(ID 3255)

F r einen l ngeren Weg muss die ben tigte Energie f r jedes Wegst ck summiert werden:

$\bar{W}=\displaystyle\sum_i \vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$

Jedoch repr sentiert der Wert dieser Gleichung lediglich einen Durchschnittswert der ben tigten oder erzeugten Energie. Die pr zise Energie wird erreicht, wenn die Schritte sehr klein werden und die Kraft innerhalb von ihnen als konstant betrachtet werden kann:

$W=\displaystyle\sum_i \mbox{lim}_{\Delta\vec{s}_i\rightarrow\vec{0}}\vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$

In diesem Grenzwert entspricht die Energie dem Integral entlang des zur ckgelegten Weges, was uns ergibt:

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(ID 3686)

(ID 7149)

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