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Resumen de ecuaciones del modelo
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Ecuaciones
(ID 3792)
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuaci n:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es el producto de la secci n la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
La energía cinética ($K$) con la masa de la partícula ($m$) y la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$)
| $ K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$ |
y la energía de una molécula ($E$) con el grados de libertad ($f$), la constante de Boltzmann ($k_B$) y la temperatura absoluta ($T$)
| $ E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T $ |
que al igualar dan
| $ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$ |
(ID 4391)
Con los valores de el volumen en estado i ($V_i$), el volumen en estado f ($V_f$), la temperatura en estado inicial ($T_i$), la temperatura en estado final ($T_f$), y el indice adiabático ($\kappa$), se establece la siguiente relaci n:
| $ T_i V_i ^{ \kappa -1}= T_f V_f ^{ \kappa -1}$ |
Al emplear la ecuaci n de los gases con los par metros la presión ($p$), el volumen ($V$), el número de moles ($n$), la constante universal de los gases ($R_C$) y la temperatura absoluta ($T$), obtenemos la siguiente expresi n:
| $ p V = n R_C T $ |
Esta ecuaci n describe c mo, en un proceso adiab tico que var a desde una situaci n inicial hasta una final en t rminos de la presión ($p$) y la temperatura absoluta ($T$), se relaciona con la presión en estado inicial ($p_i$) y la presión en estado final ($p_f$) de la siguiente manera:
| $ p_i ^{1- \kappa } T_i ^{ \kappa }= p_f ^{1- \kappa } T_f ^{ \kappa }$ |
(ID 4866)
(ID 4873)
(ID 4875)
Ejemplos
Si se define una altura caracteristica como
| $ z_0 =\displaystyle\frac{ R_C T }{ M_m g }$ |
con
como
| $ p(z) = p_0 e^{- z / z_0 }$ |
En la moderaci n de fen meno clim ticos se trabaja algunas veces indicando presiones en vez de alturas. Para ello se listan a continuaci n presiones t picas y las alturas a las que corresponden (15 grados, nivel del mar 1 atm):Presi n [mbar] | Altura [m]:------------------:|:------------:1000 | 110925 | 762850 | 1457700 | 3010600 | 4205500 | 5572400 | 7182300 | 9160250 | 10358200 | 11770150 | 13503100 | 1579070 | 1766250 | 1931430 | 2162920 | 2331310 | 25908
(ID 4859)
De la relaci n de la presi n del vapor de agua saturado
| $ p_s = p_{ref} e^{- l_m / R_C T }$ |
se puede calcular con la humedad relativa
| $ RH =\displaystyle\frac{ p_v }{ p_s }$ |
Como al bajar la temperatura la presi n saturada va bajando existe una temperatura
donde
Si se despeja esta ecuaci n se obtiene la temperatura de roc o, es decir la temperatura l mite en que el agua suspendida comenzar a a condensar:
| $ T_d =\displaystyle\frac{ T }{1-\displaystyle\frac{ R_C T }{ l_m }\ln RH }$ |
(ID 4870)
De un estado inicial (i) con la presión en estado inicial ($p_i$) y la temperatura en estado inicial ($T_i$) pasa a un estado final (f) con la presión en estado final ($p_f$) y la temperatura en estado final ($T_f$) con el indice adiabático ($\kappa$) seg n:
| $ p_i ^{1- \kappa } T_i ^{ \kappa }= p_f ^{1- \kappa } T_f ^{ \kappa }$ |
(ID 4866)
De la ecuaci n adiab tica
| $ p_i ^{1- \kappa } T_i ^{ \kappa }= p_f ^{1- \kappa } T_f ^{ \kappa }$ |
y la ecuaci n para la presi n que asciende:
| $ p(z) = p_0 e^{- z / z_0 }$ |
se tiene que si temperatura en la superficie es
| $T(z)=T_se^{-(\kappa-1)z/\kappa z_0}$ |
(ID 42)
Si se asume un decrecimiento lineal entre la temperatura en la superficie
| $T(z)=T_e-(T_e-T_b)\displaystyle\frac{z}{z_b}$ |
(ID 9939)
Si se asume un decrecimiento lineal entre la temperatura en la parte inferior de la atm sfera
| $T(z)=T_b-(T_b-T_t)\displaystyle\frac{(z-z_b)}{(z_t-z_b)}$ |
(ID 9940)
De la ecuaci n adiab tica
| $ p_i ^{1- \kappa } T_i ^{ \kappa }= p_f ^{1- \kappa } T_f ^{ \kappa }$ |
y la ecuaci n para la presi n que asciende:
| $ p(z) = p_0 e^{- z / z_0 }$ |
se tiene que un temperatura de rocio
| $T(z)=T_de^{-(\kappa_s-1)(z-z_b)/\kappa_s z_0}$ |
en la altura
(ID 8839)
La nube se comienza a formar cuando el aire en asenso se enfr a al punto que se inicia la condensaci n. Esto ocurre cuando se alcanza la temperatura de roc o
| $T(z)=T_se^{-(\kappa-1)z/\kappa z_0}$ |
se puede obtener que esto ocurre cuando la altura es igual a
| $z_b=\displaystyle\frac{\kappa z_0}{(\kappa-1)}ln\displaystyle\frac{T_s}{T_d}$ |
(ID 8840)
Como la temperatura es igual a
| $T(z)=T_de^{-(\kappa_s-1)(z-z_b)/\kappa_s z_0}$ |
que alcanza la altura del techo de la nube cuando la temperatura es
que despejado permite calcular la altura m xima
| $z_t=z_b+\displaystyle\frac{\kappa_s z_0}{(\kappa_s-1)}\ln\displaystyle\frac{T_d}{T_t}$ |
(ID 8837)
La clave para entender el ascenso es el calculo del CAPE
| $CAPE=g\displaystyle\int_0^z ds\displaystyle\frac{(T(s)-T_m(s))}{T_m(s)}$ |
que corresponde a una medida de la energ a potencial disponible para la convecci n.
Si se trabaja con un modelo simplificado en que la expresi n la temperatura en el denominador se pueden aproximar por los valores medios
$\displaystyle\frac{1}{2}(T_e+T_b), \displaystyle\frac{1}{2}(T_d+T_t)$
respectivamente ya que al estar en grados Kelvin sus valores fluct an en torno un numero medio mayor.
Por otro lado se pueden calcular las diferencias de las temperaturas mediante el calculo de los tri ngulos
$\displaystyle\frac{1}{2}(T_s-T_d)z_b,\displaystyle\frac{1}{2}(T_e-T_b)z_b, \displaystyle\frac{1}{2}(T_d-T_t)(z_b-z_t), \displaystyle\frac{1}{2}(T_b-T_t)(z_b-z_t)$
y rect ngulos
$(T_d-T_b)z_b, (T_b-T_t)z_b$
que se observan en la gr fica del modelo simplificado.
Con ello se obtiene asi una estimaci n simple para el CAPE en la situaci n en que no existe un sector inhibidor:
| $CAPE=g\left(\displaystyle\frac{(T_s+T_d)}{(T_e+T_b)}-1\right)z_b+g\displaystyle\frac{(T_d-T_b)}{(T_b+T_t)}(z_t-z_b)$ |
(ID 38)
Con la velocidad de ascenso dada por
| $ v(z) ^2 = 2 g \displaystyle\int_0^zds\displaystyle\frac{( \rho_m(s) - \rho(s) )}{ \rho(s) }$ |
y la definici n del CAPE
| $CAPE=g\displaystyle\int_0^z ds\displaystyle\frac{(T(s)-T_m(s))}{T_m(s)}$ |
se tiene que la velocidad de ascenso en funci n del CAPE es
| $ v =\sqrt{2 CAPE }$ |
(ID 8836)
Si se multiplica la concentraci n del agua condensada
| $ j_d = \Delta c v$ |
(ID 4875)
Con el flujo de condensaci n
| $ v_a =\displaystyle\frac{ M_m }{ \rho } j_d $ |
(ID 10827)
Cuando la temperatura de la masa de aire en convecci n alcanza el punto de roc o se inicia el proceso de condensaci n. Si en ese momento la concentraci n de vapor de agua es
| $ \Delta c = c_i - c_f $ |
(ID 4874)
Si se iguala la energía cinética ($K$) con la energía de una molécula ($E$) se puede calcular en funci n de el grados de libertad ($f$), la constante de Boltzmann ($k_B$), la temperatura absoluta ($T$) y la masa de la partícula ($m$) lo que es la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$) mediante
| $ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$ |
(ID 4391)
Las gotas se van formando por las mol culas de agua que ya condensaron y por ello se adhieren a cualquier otra mol cula de agua. Si se calcula la velocidad con que se van agregando las mol culas se puede estimar la relaci n entre tiempo y radio:
| $ t =\displaystyle\frac{6 \rho }{ c v M_m } a $ |
(ID 4877)
La fuerza que resiste la caida de una gota se puede describir con la ley de fuerza de Stokes:
| $ F_v =6 \pi \eta r v $ |
la que se opone a la gravedad
que tienden a acelerar la gota. Si se igualan ambas fuerzas se puede estimar la velocidad a la que la gota tienden a caer
| $ v_g =\displaystyle\frac{2 r ^2 \rho g }{9 \eta }$ |
En el caso de lluvia las gotas tienen tipicamente 0.5 mm de radio y como la densidad del agua es 1 g/cm3, la viscosidad del aire 1.8E-5 Pa s y la aceleraci n gravitacional 9.8 m/s2 se tiene una velocidad de 30.3 m/s.> *La velocidad de ca da de las gotas de lluvia es constante debido a la resistencia del aire. Su magnitud puede llegar a ser de varias decenas de metros por segundo.*Las gotas pueden llegar a tener varios mil metros de radio, sin embargo la velocidad lleva a que la fuerza que ejerce el aire sobre ellas tienda a fragmentarlas con que se reduce nuevamente su radio.> *Gotas de lluvia de mayor tama o est n expuestas a mayores tensiones por las fuerzas de resistencia del aire lo que lleva a su fragmentaci n. Por ello las gotas tienden a no superar di metros de varios mil metros.'En el caso de neblina los radios son del orden de 2.2 mu por lo que la velocidad es del orden de 5.8E-4 m/s lo que es relativamente lento. En una hora la gota de neblina solo recorrer a 2 m por lo que la neblina solo puede 'levantarse' si las gotas contin an creciendo o se evaporan nuevamente.> *Gotas de neblina tienen velocidades de ca da muy peque as que en la escala de tiempo de inter s pueden ser despreciadas. Por ello se les puede considerar en suspensi n significando que la disoluci n de la neblina se puede dar solo por crecimiento de las gotas (lluvia) o evaporaci n.*
(ID 4872)
La velocidad relativa
| $ v_e = v_g - v_m $ |
Dado que se puede dar que la velocidad de acenso de las masas de aire (por convecci n) es mayor a las de caidad de las gotas, se puede dar que literalmente 'llueve para arriba'. Otro fenomeno es el de evaporaci n. Dependiendo de la humedad relativa por la que atravieza una gota de agua esta puede ganar tama o o ir evaporandose. En este ultimo caso se vuelve cada vez mas lenta pudiendo en extremo nunca alcanzar el suelo. En otras palabas se tiene lluvia en altura que no llega al suelo.
(ID 4873)
Si la temperaturas en grados Celsius son
| $ \Delta t = t_2 - t_1 $ |
(ID 4379)
Podemos calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) a partir de la posición inicial ($s_0$) y la posición ($s$) utilizando la siguiente ecuación:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en t rminos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente f rmula:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
ID:(1363, 0)