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Écoulement laminaire visqueux (Hagen Poiseuille)

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Lorsque l'on considère l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux à travers un tube, un motif se forme où la vitesse est maximale au centre et nulle sur les bords. Le débit total dépend du profil cylindrique et est inversement proportionnel à la viscosité du fluide, avec une relation à la quatrième puissance par rapport au rayon.

>Modèle

ID:(876, 0)

Mécanismes

Concept

ID:(15491, 0)

Flux laminaire à travers un tube

Concept

Lorsqu'un tube rempli de liquide d'une viscosité de ERROR:5422,0 est exposé à A pression en position initiale ( $p_i$ ) en le positionner au début du tube ( $L_i$ ) et a pression en position finale (e) ( $p_e$ ) en le positionner au bout du tube ( $L_e$ ), cela génère une différence de pression ( $\Delta p_s$ ) le long de le longueur du tube ( $\Delta L$ ), ce qui donne le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) :

Dans les écoulements avec de faibles valeurs de le le numéro de Reynold ( $Re$ ), où la viscosité est plus significative que l'inertie du liquide, l'écoulement se développe de manière laminée, c'est-à-dire sans la présence de turbulences.

ID:(2218, 0)

Foils dans le courant

Concept

Dans un écoulement laminaire, des couches adjacentes se déplacent et une force est générée par la viscosité entre elles. La couche la plus rapide entraîne sa voisine plus lente, tandis que la plus lente limite l'avancement de la plus rapide.

Par conséquent, la force a force visqueuse ( $F_v$ ) générée par ERROR:10119.1 sur l'autre est une fonction de ERROR:5556.1, ERROR:5436.1 et ERROR:5422.1, comme indiqué dans l'équation suivante :

$F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

illustrée dans le schéma suivant :

ID:(7053, 0)

S'écouler dans un cylindre

Concept

L'écoulement laminaire autour d'un cylindre peut être représenté comme plusieurs couches cylindriques glissant sous l'influence des couches adjacentes. Dans ce cas, a force visqueuse ( $F_v$ ) avec le longueur du tube ( $\Delta L$ ), a viscosité ( $\eta$ ) et les variables a position radiale dans le cylindre ( $r$ ) et a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) est exprimée comme suit :

La couche à la frontière à ERROR:5417.1 reste stationnaire en raison de l'effet de bord et, à travers a viscosité ( $\eta$ ), ralentit la couche adjacente qui a une vitesse.

Le centre est la partie qui se déplace à A vitesse maximal ( $v_{max}$ ), entraînant la couche environnante. À son tour, cette couche entraîne la suivante, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle atteigne la couche en contact avec la paroi du cylindre, qui est immobile.

Ainsi, le système transfère de l'énergie du centre vers la paroi, générant un profil de vitesse représenté par :

avec :

ID:(7057, 0)

Débit pour densité de flux inhomogène

Concept

ID:(15719, 0)

Débit selon l'équation de Hagen-Poiseuille

Concept

Le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) en le rayon de position dans un tube ( $r$ ) nous permet de calculer le volumique flux ( $J_V$ ) dans un tube en intégrant sur toute la surface, ce qui nous conduit à la loi bien connue de Hagen-Poiseuille.

Le résultat est une équation qui dépend de ERROR:5417,0 élevé à la quatrième puissance. Cependant, il est essentiel de noter que ce profil d'écoulement n'est valable que dans le cas d'un écoulement laminaire.

Ainsi, avec cela, on déduit de a viscosité ( $\eta$ ) que le volumique flux ( $J_V$ ) devant un longueur du tube ( $\Delta L$ ) et ERROR:6673,1, l'expression :

$J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839). "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(2216, 0)

Le numéro de Reynold

Concept

L'inertie d'un liquide peut être comprise comme étant proportionnelle à la densité d'énergie cinétique, donnée par

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

où A densité du liquide ( $\rho_w$ ) et a vitesse moyenne du fluide ( $v$ ) sont impliqués.

Si nous considérons a force visqueuse ( $F_v$ ) comme étant

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

où A coupe ou surface ( $S$ ), a viscosité ( $\eta$ ), a vitesse moyenne du fluide ( $v$ ) et a dimension typique du système ( $R$ ) sont des propriétés du liquide.

Rappelons que l'énergie est égale à A force visqueuse ( $F_v$ ) multipliée par le distance parcourue ( $l$ ). La densité d'énergie perdue en raison de la viscosité sera égale à la force multipliée par la distance divisée par le volume $S l$ :

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Par conséquent, le rapport entre la densité d'énergie cinétique et la densité d'énergie visqueuse est égal à un nombre sans dimension connu sous le nom de le le numéro de Reynold ( $Re$ ). Lorsque le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est bien supérieur à un, l'inertie l'emporte sur la force visqueuse et l'écoulement devient turbulent. En revanche, si le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est faible, la force visqueuse domine et l'écoulement devient laminaire.

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

En résumé, le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est un paramètre sans dimension qui indique la relation entre l'inertie et la force visqueuse dans un écoulement. Si le nombre de Reynolds est bien inférieur à un ( $Re\ll 1$ ), la viscosité domine et l'écoulement est laminaire. Si le nombre de Reynolds est supérieur à un ( $Re\gg 1$ ), l'inertie domine et l'écoulement est turbulent.L'article original dans lequel Osborne Reynolds introduit le nombre qui porte son nom est : "Enquête Expérimentale sur les Circonstances Qui Déterminent Si le Mouvement de l'Eau Doit Être Direct ou Sinueux, et sur la Loi de la Résistance dans les Canaux Parallèles" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

ID:(15507, 0)

Modèle

Concept

ID:(15493, 0)

Écoulement laminaire visqueux

Modèle

Variables

Symbole

Texte

Variable

Valeur

Unités

Calculer

Valor MKS

Unités MKS

$S$

Coupe des pores

m^2

$\rho$

rho

Densité

kg/m^3

$j_s$

j_s

Densité de flux

m/s

$Re$

Le numéro de Reynold

$\Delta L$

Longueur du tube

$r$

Position radiale dans le cylindre

$L_e$

L_e

Positionner au bout du tube

$L_i$

L_i

Positionner au début du tube

$p_e$

p_e

Pression en position finale (e)

$p_i$

p_i

Pression en position initiale

$R$

Rayon du tube

$\eta$

eta

Viscosité

Pa s

$v$

Vitesse dans un rayon du cylindre

m/s

$v_{max}$

v_max

Vitesse maximal

m/s

$J_V$

J_V

Volumique flux

m^3/s

Calculs

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation:

, puis, sélectionnez la variable:

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable

Donnée

Calculer

Cible :

Équation

À utiliser

Équations

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Re = rho * R * v / eta

(ID 3177)

$J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

J_V =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL )

Si nous examinons le profil de ERROR:5449,0 pour un fluide dans un canal cylindrique, o a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) varie en fonction de ERROR:10120,0 selon l'expression suivante :

$v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

avec le rayon du tube ( $R$ ) et a vitesse maximal ( $v_{max}$ ). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ( $v_{max}$ ) en utilisant a viscosité ( $\eta$ ), a différence de pression ( $\Delta p$ ), et le longueur du tube ( $\Delta L$ ) comme suit :

$v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Si nous int grons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ( $J_V$ ), d fini comme l'int grale de $\pi r v(r)$ par rapport ERROR:10120,0 de $0$ ERROR:5417,0. Cette int grale peut tre simplifi e comme suit :

$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$

L'int gration donne la loi de Hagen-Poiseuille r sultante :

$J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

(ID 3178)

$v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

v = v_max *(1- ( r / R )^2)

Quand une a différence de pression ( $\Delta p_s$ ) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$ , avec le rayon du tube ( $R$ ) comme le rayon de courbure ( $r$ ), elle g n re une force repr sent e par :

$\pi r^2 \Delta p$

Cette force pousse le liquide contre la r sistance visqueuse, donn e par :

En galant ces deux forces, nous obtenons :

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Ce qui nous conduit l' quation :

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Si nous int grons cette quation d'une position d finie par le rayon de courbure ( $r$ ) jusqu'au bord o se trouve le rayon du tube ( $R$ ) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) en fonction de le rayon de courbure ( $r$ ) :

O :

est a vitesse maximal ( $v_{max}$ ) au centre de l' coulement.

(ID 3627)

$v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

v_max = - R ^2* Dp /(4* DL * eta )

(ID 3628)

$\Delta L = L_e - L_i$

DL = L_e - L_i

(ID 3802)

$S = \pi r ^2$

S = pi * r ^2

(ID 3804)

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

j_s = J_V / S

Le flux est d fini comme le volume le élément de volume ( $\Delta V$ ) divis par le temps le temps écoulé ( $\Delta t$ ), ce qui est exprim dans l' quation suivante :

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

et le volume est gal la section transversale a section de tube ( $S$ ) multipli e par la distance parcourue le élément tubulaire ( $\Delta s$ ) :

$\Delta V = S \Delta s$

tant donn que la distance parcourue le élément tubulaire ( $\Delta s$ ) par unit de temps le temps écoulé ( $\Delta t$ ) correspond la vitesse, elle est repr sent e par :

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Ainsi, le flux est une densité de flux ( $j_s$ ), qui est calcul l'aide de :

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

(ID 4349)

$\Delta p = p_e - p_i$

Dp = p_e - p_i

(ID 14459)

Exemples

M canismes

(ID 15491)

Flux laminaire travers un tube

Lorsqu'un tube rempli de liquide d'une viscosit de ERROR:5422,0 est expos a pression en position initiale ( $p_i$ ) en le positionner au début du tube ( $L_i$ ) et a pression en position finale (e) ( $p_e$ ) en le positionner au bout du tube ( $L_e$ ), cela g n re une différence de pression ( $\Delta p_s$ ) le long de le longueur du tube ( $\Delta L$ ), ce qui donne le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) :

Dans les coulements avec de faibles valeurs de le le numéro de Reynold ( $Re$ ), o la viscosit est plus significative que l'inertie du liquide, l' coulement se d veloppe de mani re lamin e, c'est- -dire sans la pr sence de turbulences.

(ID 2218)

Foils dans le courant

Dans un coulement laminaire, des couches adjacentes se d placent et une force est g n r e par la viscosit entre elles. La couche la plus rapide entra ne sa voisine plus lente, tandis que la plus lente limite l'avancement de la plus rapide.

Par cons quent, la force a force visqueuse ( $F_v$ ) g n r e par ERROR:10119.1 sur l'autre est une fonction de ERROR:5556.1, ERROR:5436.1 et ERROR:5422.1, comme indiqu dans l' quation suivante :

$F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$

illustr e dans le sch ma suivant :

(ID 7053)

S' couler dans un cylindre

L' coulement laminaire autour d'un cylindre peut tre repr sent comme plusieurs couches cylindriques glissant sous l'influence des couches adjacentes. Dans ce cas, a force visqueuse ( $F_v$ ) avec le longueur du tube ( $\Delta L$ ), a viscosité ( $\eta$ ) et les variables a position radiale dans le cylindre ( $r$ ) et a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) est exprim e comme suit :

La couche la fronti re ERROR:5417.1 reste stationnaire en raison de l'effet de bord et, travers a viscosité ( $\eta$ ), ralentit la couche adjacente qui a une vitesse.

Le centre est la partie qui se d place a vitesse maximal ( $v_{max}$ ), entra nant la couche environnante. son tour, cette couche entra ne la suivante, et ainsi de suite jusqu' ce qu'elle atteigne la couche en contact avec la paroi du cylindre, qui est immobile.

Ainsi, le syst me transf re de l' nergie du centre vers la paroi, g n rant un profil de vitesse repr sent par :

avec :

(ID 7057)

D bit pour densit de flux inhomog ne

Dans le cas o a densité de flux ( $j_s$ ) est constant, le volumique flux ( $J_V$ ) peut tre calcul en utilisant a coupe ou surface ( $S$ ) selon :

$J_V = S j_s$

Si a densité de flux ( $j_s$ ) varie, des l ments de section $dS$ suffisamment petits peuvent tre consid r s pour que l' quation reste valide, au sens o la contribution au flux est :

$dJ_V = j_s dS$

En int grant cette expression sur toute la section, on obtient que

$J_V =\displaystyle\int j_s dS$

(ID 15719)

D bit selon l' quation de Hagen-Poiseuille

Le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ( $v$ ) en le rayon de position dans un tube ( $r$ ) nous permet de calculer le volumique flux ( $J_V$ ) dans un tube en int grant sur toute la surface, ce qui nous conduit la loi bien connue de Hagen-Poiseuille.

Le r sultat est une quation qui d pend de ERROR:5417,0 lev la quatri me puissance. Cependant, il est essentiel de noter que ce profil d' coulement n'est valable que dans le cas d'un coulement laminaire.

Ainsi, avec cela, on d duit de a viscosité ( $\eta$ ) que le volumique flux ( $J_V$ ) devant un longueur du tube ( $\Delta L$ ) et ERROR:6673,1, l'expression :

$J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Les articles originaux qui ont donn naissance cette loi avec un nom combin taient: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in r hrenf rmigen Gef ssen bestimmen" (Sur les lois r gissant l' coulement de l'eau dans des r cipients cylindriques), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839). "Recherches exp rimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr s-petits diam tres", Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Acad mie des Sciences 9:433544 (1840).

(ID 2216)

Le num ro de Reynold

L'inertie d'un liquide peut tre comprise comme tant proportionnelle la densit d' nergie cin tique, donn e par

$\displaystyle\frac{\rho_w}{2}v^2$

o a densité du liquide ( $\rho_w$ ) et a vitesse moyenne du fluide ( $v$ ) sont impliqu s.

Si nous consid rons a force visqueuse ( $F_v$ ) comme tant

$F_v=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

o a coupe ou surface ( $S$ ), a viscosité ( $\eta$ ), a vitesse moyenne du fluide ( $v$ ) et a dimension typique du système ( $R$ ) sont des propri t s du liquide.

Rappelons que l' nergie est gale a force visqueuse ( $F_v$ ) multipli e par le distance parcourue ( $l$ ). La densit d' nergie perdue en raison de la viscosit sera gale la force multipli e par la distance divis e par le volume $S l$ :

$\displaystyle\frac{F_vl}{Sl}=S\eta\displaystyle\frac{v}{R}\displaystyle\frac{l}{Sl}=\eta\displaystyle\frac{v}{R}$

Par cons quent, le rapport entre la densit d' nergie cin tique et la densit d' nergie visqueuse est gal un nombre sans dimension connu sous le nom de le le numéro de Reynold ( $Re$ ). Lorsque le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est bien sup rieur un, l'inertie l'emporte sur la force visqueuse et l' coulement devient turbulent. En revanche, si le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est faible, la force visqueuse domine et l' coulement devient laminaire.

$Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

En r sum , le le numéro de Reynold ( $Re$ ) est un param tre sans dimension qui indique la relation entre l'inertie et la force visqueuse dans un coulement. Si le nombre de Reynolds est bien inf rieur un ( $Re\ll 1$ ), la viscosit domine et l' coulement est laminaire. Si le nombre de Reynolds est sup rieur un ( $Re\gg 1$ ), l'inertie domine et l' coulement est turbulent.L'article original dans lequel Osborne Reynolds introduit le nombre qui porte son nom est : "Enqu te Exp rimentale sur les Circonstances Qui D terminent Si le Mouvement de l'Eau Doit tre Direct ou Sinueux, et sur la Loi de la R sistance dans les Canaux Parall les" (An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels), Osborne Reynolds, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 174, pp. 935-982 (1883).

(ID 15507)

Mod le

(ID 15493)

ID:(876, 0)