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Funciones Potenciales y Lograrítmicas

Storyboard

Las funciones mas simples por ejemplo polinomios de la variable independiente. Un ejemplo simple de estas relaciones es la linea recta que es un polinomio de primer orden.

Una posibilidad análoga es usar la variable independiente no como la base del calculo si no que como el exponente. Esto da origen a funciones de potencia en que destaca en particular la función exponencial. Las funciones inversas de las funciones de potencias son los logaritmos.

>Modelo

ID:(427, 0)

Funciones Potenciales

Definición

Una serie de calculos nos arrojaran como resultados funciones potenciales, en particular exponenciales, y logarítmos.

ID:(510, 0)

Funciones Potenciales y Lograrítmicas

Storyboard

Las funciones mas simples por ejemplo polinomios de la variable independiente. Un ejemplo simple de estas relaciones es la linea recta que es un polinomio de primer orden.\\nUna posibilidad análoga es usar la variable independiente no como la base del calculo si no que como el exponente. Esto da origen a funciones de potencia en que destaca en particular la función exponencial. Las funciones inversas de las funciones de potencias son los logaritmos.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$a$

Constante $a$

$DE$

Lado $DE$

$y$

Variable Dependiente $y$

$x$

Variable Independiente $x$

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$y=e^x$

y=e^x

$y = f(x) = a^x$

y = f(x) = a^x

$a^xa^y=a^{x+y}$

a^xa^y=a^{x+y}

$(a^x)^y=a^{xy}$

( a ^ x )^ y = a ^{ x * y }

$y=\log_a(x)$

y=\log_a(x)

$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$

\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)

$\log_a(x^c)=c\log_a(x)$

\log_a(x^c)=c\log_a(x)

$y=\log_{10}(x)$

y=\log_{10}(x)

$y=\log_e(x)=\ln(x)$

y=\log_e(x)=\ln(x)

$\log_b(x)=\log_b(a)\log_a(x)$

log_b(x)=log_b(a)*log_a(x)

$b^x=a^{x\log_a(b)}$

b^x=a^(x*log_a(b))

$ e^{i \theta } = \cos \theta + i\sin \theta $

exp(i* theta ) = cos( theta ) + i*sin( theta )

$e^z=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{z}{n}\right)^n$

e^z=lim_(n->infty)(1+z/n)^n

Ejemplos

Funciones Potenciales

Una serie de calculos nos arrojaran como resultados funciones potenciales, en particular exponenciales, y logar tmos.

Potencia

La funci n potencia se define con un n mero a, que se denomina la base, que se eleva a la variable x. En este caso la variable x se denomina el exponente de la funci n potencia.

equation

Para calcular se puede emplear la funci n correspondiente

image

Exponencial

Una de las aplicaciones mas corrientes de la funci n exponencial es lo que se denomina el decaimiento o la divergencia en forma exponencial.

Se calcula empleando la funci n e^x o exp en las calculadoras.

Su notaci n es simplemente una e con la variable independiente como potencia.

El valor de e es igual a 2.71828\ldots.

equation

Su funci n inversa es el logaritmo natural.

Para calcular se puede emplear la funci n correspondiente

image

Potenciando una Potencia

Si una funci n potencia es a su vez potenciada, la primera funci n potencia pasa a ser la base de la segunda. Dicha operaci n resulta en una funci n poetncia de la misma base de la primera funci n potencia pero con un exponente igual al producto de ambos exponentes:

equation

Multiplicaci n de dos Potencias

La multiplicaci n de dos funciones de potencias con igual base son igual a la potencia de la misma base de la suma de ambos exponentes:

equation

Su funci n inversa es el logaritmo natural.

Logaritmo

El logaritmo es la funci n inversa de la funci n potencia. Como la funci n potencia depende de la base, la funci n logaritmo tambi n depende de esta. Por ello se habla del logaritmo base a y la nomenclatura empleada es y=\log_a(x). Al ser la funci n inversa se da que si

y=a^x

si aplicamos el logaritmo de base a se obtiene

\log_a(y)=\log_a(a^x)=x

por lo que se puede definir la funci n logaritmo

equation

como el inverso de la exponencial.

Logaritmo Natural

El logaritmo natural surge en f sica cada vez que se requiere la inversa del exponencial..

Se calcula empleando la funci n \ln o \log_e en las calculadoras.

Su notaci n es simplemente un \ln con la variable independiente entre par ntesis.

equation

Su funci n inversa es el logaritmo natural.

Para calcular se puede emplear la funci n correspondiente

image

Logaritmo de Base $10$

Un caso especial de potencias es la potencia de base 10, que corresponde a la notaci n cient fica. De este modo el logaritmo de base 10 nos permite determinar el exponente de la notaci n cient fica.

La notaci n del logaritmo de base 10 es

equation

El resultado del logaritmo de base 10 entrega un numero real. Si dicho n mero se trunca el entero que surge es el exponente que escribimos en el exponente de la notaci n cient fica. El logaritmo base 10 de la parte fraccional corresponde al coeficiente del n mero en notaci n cient fica.

Para calcular se puede emplear la funci n correspondiente

image

Logaritmo de Productos

El logaritmo del producto de variables x y y es igual a la suma de los logaritmos de cada variable. Esto aplica para cualquier base a:

equation

Un caso part cular es el logaritmo de una divisi n es igual a la resta de los logaritmos individuales:

\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)

Logaritmo de una Potencia de una Variable

El logaritmo de una potencia de una variable x elevada a una potencia c es igual al logaritmo de la base multiplicado por la potencia c:

equation

Cambio de base en logaritmo

Si uno tiene el logaritmo de un valor x en a como base

\log_a(x)

se puede calcular el valor del logaritmo con la base b mediante

equation

Cambio de base en exponencial

Si uno tiene el exponencial de un valor x en a como base

a^x

se puede calcular el valor de exponencial con la base b mediante

equation

Relaci n exponencial y trigonom trica

El exponencial de un argumento \theta como numero complejo se puede calcular como la suma de funciones trigonom tricas mediante

equation

Calculo de exponencial como limite

En el limite infinito del exponente n el exponencial de la variable z es

equation

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