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Consideremos un corredor de masa corporal m_c que corre por un tiempo dt.

Generación de calor

Vía el MET para la actividad se puede estimar que energía requirió \Delta Q. Dicha energía no se transforma solo en energía mecánica \Delta W. Una parte de ella termina como calor \Delta Q_b que debe ser eliminado.

Que fracción no es convertible en trabajo depende del coeficiente del rendimiento

u que se puede estimar de la energía calórica del alimento \Delta Q_f y de la energía de Gibbs \Delta G_f del mismo.

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Antes de estudiar como se elimina el calor se puede explorar lo que pasaría si el calor no se elimina.

Peligro de sobre-calentar los músculos

Uno de los efectos inmediatos de no eliminar el calor seria que la temperatura del musculo subiría a un valor T_m que se puede estimar con la capacidad calórica del musculo c_m y la masa m_m de este.

Ante estos datos queda claro que es perentorio de que se elimine el calor del musculo para evitar daños. Como el musculo se encuentra al interior del cuerpo la única forma que existe para remover el calor es vía los vasos sanguíneos.

Para llegar con el calor a los vasos sanguíneos, que se puede estimar están a una temperatura corporal T_c es vía transporte calórico. En este caso el calor ya se encuentra en el medio musculo y solo tiene que ser conducido hasta la superficie del vaso. Posteriormente es transmitido al torrente sanguíneo.

La conducción esta definida por el coeficiente de conducción \lambda, la distancia origen en el músculo y pared del vaso d, la superficie de los vasos comprometidos S y la diferencia de temperatura máxima tolerable \Delta T_{max}.

La transferencia entre pared del vaso y sangre depende del coeficiente de transmisión $\mu$ que en este caso es igual a una constante \mu_o y una segunda constante \mu_1 que se multiplica por la velocidad del torrente de sangre v.

Para simplificar el calculo se puede modelar el sistema como un sistema de transporte con una sola interface (un conductor y una interface) con lo que se obtiene un coeficiente de transporte k_b.

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Ecuación

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La superficie corporal depende del peso W y de la altura H de la forma

con coeficientes estimados por distintos autores:

Autor | Constante $C$ | Exponente $n$ | Exponente $m$ | Cita

--------|----------------|---------------------|----------------------|--------

Du Bois | 0.007184 | 0.425 | 0.725 | (1)

Mosteller | 0.016667 | 0.5 | 0.5 | (2)

Haycock | 0.024265 | 0.5378 | 0.3964 | (3)

Gehan and George | 0.0235 | 0.51456 | 0.42246 | (4)

Boyd | 0.03330 | * | 0.3 | (5)

Fujimoto | 0.008883 | 0.444 | 0.663 | (6)

Takahira | 0.007241 | 0.425 | H0.725 | (7)

Schlich (Woman) | 0.000975482 | 0.46 | 1.08 | (8)

Schlich (Men) | 0.000579479 | 0.38 | 1.24 | (8)

* $0.03330 W (0.6157 - 0.0188 log10(W))$

Referencias:

(1) Du Bois D, Du Bois EF (Jun 1916). 'A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known'. Archives of Internal Medicine 17 (6): 863-71. PMID 2520314. Retrieved 2012-09-09.

(2) Mosteller RD. 'Simplified calculation of body-surface area'. N Engl J Med 1987; 317:1098. PMID 3657876.

(3) Haycock GB, Schwartz GJ, Wisotsky DH 'Geometric method for measuring body surface area: A height-weight formula validated in infants, children and adults' J Pediatr 1978, 93:62-66.

(4) Gehan EA, George SL, Cancer Chemother Rep 1970, 54:225-235

(5) Boyd, Edith (1935). The Growth of the Surface Area of the Human Body. University of Minnesota. The Institute of Child Welfare, Monograph Series, No. x. London: Oxford University Press

(6) Fujimoto S, Watanabe T, Sakamoto A, Yukawa K, Morimoto K. Studies on the physical surface area of Japanese. 18. Calculation formulae in three stages over all ages. Nippon Eiseigaku Zasshi 1968;5:443-50.

(7) Fujimoto S, Watanabe T, Sakamoto A, Yukawa K, Morimoto K. Studies on the physical surface area of Japanese. 18. Calculation formulae in three stages over all ages. Nippon Eiseigaku Zasshi 1968;5:443-50.

(8) Schlich E, Schumm M, Schlich M: '3-D-Body-Scan als anthropometrisches Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Korperoberflache'. Ernahrungs Umschau 2010;57:178-183

ID:(9575, 0)

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Los capilares que se encuentran dentro del musculo son responsables de eliminar el calor. Su radio es del orden de 4E-3mm y se encuentran a a un unos 6 diámetros o sea una distancia de 4.8E-2mm:

http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/

Si se modela el musculo como una colección de generadores puntuales de calor a una distancia igual a un medio de la distancia entre vasos (d=2.4\times 10^{-2}mm).

Si el volumen de los músculos activos es igual a (16 kg \sim 16 ltrs)

V\sim 1.6\times 10^{-2} m^3

y cada sección de tejido muscular en torno a un capilar es

\pi d^2\sim 1.8\times 10^{-3}mm^2=1.8\times 10^{-9}m^2

por lo que el largo total es

L\sim\displaystyle\frac{V}{\pi d^2}\sim 8.9\times 10^6m

Con el largo L y el perímetro

2\pi r\sim 2.5\times 10^{-5}m

se obtiene finalmente una superficie interna de 222.5 m^2.

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En la primera fase el calor abandona la zona del musculo/del órgano que genera el calor y es transportada hasta los vasos sanguíneos.

Eliminación del calor de los músculos

Dependiendo de la velocidad de la sangre, el calor es transferido a la sangre que transporta el calor hacia las zonas superficiales.

El modelo del transporte del calor entre musculo/órgano y vasos se puede describir como un proceso de conducción en el medio generador y tejidos adyacentes y luego la transferencia vía la superficie del vaso a la sangre.

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La temperatura corporal depende de la temperatura exterior y de la ropa que tengamos puesta. En el siguiente diagrama vemos a una persona en un ambiente cálido (izquierda) y en un ambiente frio sin tanta ropa (derecha):

Es importante tener presente que la radiación térmica como el transporte de calor sera menor en las zonas de menor temperatura ya que el gradiente respecto de la temperatura exterior será menor.

ID:(9576, 0)

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Una vez el torrente sanguíneo llevo el calor a los vasos capilares de la piel el calor puede ser transportado al exterior.

Calor eliminado por conducción

Si se asume que la distancia entre capilar y exterior es d, la superficie corresponde a la superficie de todo el cuerpo S_b se puede modelar el transporte sangre-piel-exterior.

La transferencia entre sangre y piel se puede modelar de la misma forma que se hizo con la interface musculo-sangre.

La conducción por la piel se puede modelar con el mismo coeficiente que en el músculo.

En el caso exterior se puede asumir que no existe desplazamiento del aire y que el coeficiente de transmisión es igual a \mu_s.

Si se asume un modelo a de dos transferencias y un medio de conducción se puede calcular el coeficiente de transporte de la piel k_s.

Con las temperaturas corporales y exteriores se puede estimar el flujo de calor J_t. Adicionalmente se puede estimar la temperatura en las interfaces, tanto entre sangre y piel (T_{s1}) como piel-exterior (T_{s2}).

ID:(597, 0)

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Los valores de conductividad y capacidad caloría se pueden obtener de la siguiente tabla

Nanomedicine, Volume IIA: Biocompatibility

ID:(9577, 0)

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Una parte de la eliminación ocurre por radiación térmica con un flujo J_r.

Calor eliminado por radiación (termografía)

Esta se puede estimar considerando la superficie corporal S_b y la emisividad \epsilon y depende tanto de la temperatura del cuerpo como del medio circundante.

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Si hacemos un balance entre el calor que se debe eliminar y lo que se logra vía transporte y radiación notaremos que existe una cantidad de calor que aun no se esta eliminando del cuerpo. Dicha cantidad es eliminada vía evaporación.

Calor eliminado por transpiración

La cantidad se deja estimar empelando el calor latente L_h y el calor total que no se ha logrado eliminar.

ID:(599, 0)

Ecuación

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Si no se perdiera energía el musculo se calentaría en función del calor que lo alcanza llegando a una temperatura que llevaría a un daño irreversible. Sin embargo. como el calor va abandonando el musculo su calentamiento que logra realmente es solo una fracción de la temperatura para el caso en que no se libera energía.

Si se asume que solo ocurre aproximadamente 1/3 del incremento de la temperatura se tiene que

donde \Delta T es el incremento máximo y T_m es la temperatura del musculo y T_c la temperatura corporal.

ID:(9009, 0)

Ecuación

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En caso de que dos variables a y b sean iguales, se empela el signo = para señalar este hecho:

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