Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ndern, kann mithilfe der Definition

equation=12550

berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit

equation=3679

erhalten wir

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$

Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

Unter Verwendung beider Ausdr cke ergibt sich die Gleichung

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Damit ndert sich die Energie gem

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Wir k nnen dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren

equation

Weil die Gravitationskraft ist

equation=3241

mit $m$ als Masse. Um diese von einer H he $h_1$ auf eine H he $h_2$ zu bewegen, wird eine Strecke von

equation=7111

zur ckgelegt. Daher ergibt sich die Energie

equation=1136

mit $\Delta s=\Delta h$ die Ver nderung der potenziellen Energie:

$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$

somit ist die potenzielle Gravitationsenergie

equation

Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:

equation=12550

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

equation=3253

kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

equation=3234

ergibt sich:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

equation=3679

resultiert:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:

equation=3681

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:

equation