Der einfachste Fall ist der einer Partikel die sich entlang einer Achse bewegt und die nach einem Zusammensto mit einem Objekt die Bewegungsrichtung umkehrt.

Wenn die Wahrscheinlichkeit ein Abstand zwischen x und x + dx zu erreichen gleich P(x) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Zusammensto es

P(x)-P(x+dx)\sim-\display\frac{dP}{dx}dx

Falls diese Wahrscheinlichkeit proportional zur Wahrscheinlichkeit P ist, ergibt sich dass

\display\frac{dP}{dx}=-\display\frac{dx}{\lambda}P(x)

So folgt, dass

equation

wobei \lambda der freie Weg ist.

Wenn die Verteilung integriert ist

equation=9099

ber alle m glichen Entfernungen x und davon ausgehend, dass \lambda konstant ist, bekommst du

equation

was bedeutet, dass die Funktion normalisiert ist. Dies ist nicht berraschend, da die Funktion p(x) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht.

Wenn Sie die freien Wege f r Photonen, Neutronen, Elektronen und Protonen im Wasser vergleichen, beobachten Sie Unterschiede in Zehnerpotenzen:

image

In diesem Fall werden die Werte in Zentimetern angegeben. F r den Bereich von bis zu 0,01 bis 6 MeV sind die Bereiche (in cm)

Partikel | 0,01 MeV | 6 MeV

------------- |: ------------: |: ----------:

Photonen | 0.198 | 41.7

Neutronen | 0,878 | 0.430

Elektronen | 0.00032 | 0.211

Protonen | - | 0,033

Wenn der freie Weg als eine Funktion der Dichte dargestellt wird, kann er zwischen verschiedenen Materialien verglichen werden. Als eine Funktion der Energie des Photons wird erreicht, dass der freie Weg in Knochen und Wasser im Bereich von 0 bis 10MeV sehr hnlich ist:

image

Wenn eine Absch tzung der freien Wegl nge des Photons in Wasser erw nscht ist, die ein dem Gewebe sehr hnliches Verhalten zeigt, gen gt es, die L nge in Gramm pro Quadratzentimeter mit der Dichte zu multiplizieren, mit der Werte zwischen 0 und 30 cm erhalten werden.

Die Struktur des Simulationscodes muss aus drei Grundeinheiten bestehen:

- die Definition der Verteilungsfunktion (die Anordnung, die Kugeln in der Galton-Tabelle sammelt)

- der Simulator des Fortschritts des Teilchens, das die endg ltige Position liefert

- die Einheit, die die Klasse bestimmt, die in der Verteilungsfunktion erh ht werden muss (die Einheit, die bestimmt, in welchem ??Container des Empf ngers von Kugeln diese abgelegt wird)

F r den ersten Punkt m ssen wir eine Anordnung definieren, die anf nglich auf Null gesetzt wird und schlie lich entsprechend der erreichten Position besiedelt wird.

F r den ersten Schritt m ssen wir zuerst den Bereich definieren, in den die Kugel f llt, dh einen Minimalwert x_{min} (xmin) und einen Maximalwert x_{max} (xmax). Dies sollte in num (num) Intervalle der L nge Dx unterteilt werden:

\Delta x = \displaystyle\frac{x_{max}-x_{min}}{num}

Wenn die Anordnung p hei t, m ssen zuerst die Elemente num auf Null gesetzt werden (die Elemente der Galton-Tabelle werden leer).

```

// set distribution to cero

for(i = 0;i < num;i++){

p[i] = 0.0; // set to empty

}

```

Nachdem sie auf Null gesetzt wurden, m ssen wir das Verhalten von N Kugeln/Partikeln untersuchen und ihre endg ltige Position x nach steps Schritten bestimmen (siehe Seite) Detaillierung der Berechnung):

```

Position calculation

```

Sobald die Position x erhalten wurde, ist es m glich, die Box zu bestimmen, in der die Kugeln abgelegt werden muss, indem einfach der minimale Wert subtrahiert und durch die Breite jedes Containers dividiert wird:

cls = \displaystyle\frac{x-x_{min}}{\Delta x}

Mit diesem Wert k nnen Sie den Container p[cls] finden und eine Kugeln oder ein Partikel hinzuf gen. Der entsprechende Code w re:

```

cls = round((x-xmin)/Dx); // find position in array

p[cls]++; // increment array p in posicion cls on one

```

wobei die round -Funktion (in Javascript Math.round) den Wert rundet, um einen Wert cls integer zu erhalten. Der Befehl p[cls]++ entspricht der Erh hung des Elements p[cls] in einem.

Um den Weg zu simulieren, m ssen wir in der Lage sein, die freien Weg gr ndet auf der Verteilung zuf llig zu erzeugen

equation=9099

Um dies zu tun, ist es ausreichend, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen Pfad x zu erreichen

P(x)=\displaystyle\int_0^x\displaystyle\frac{du}{\lambda}e^{-u/\lambda}=1-e^{-x/\lambda}

und l sche den Weg x

equation

Wir erhalten eine Gleichung, die, wenn wir zuf llig eine Zahl zwischen 0 und 1 erzeugen, einen Pfad x ergibt, der mit der Poisson-Verteilung erzeugt wird.

Damit k nnen Sie eine Funktion definieren:

```

function exprob (len) {

xa0xa0xa0xa0 var ran = Math.random ();

xa0xa0xa0xa0 if (ran> 0) {

xa0xa0xa0xa0xa0xa0xa0xa0 return -len*Math.log(1-ran);

xa0xa0xa0xa0 } sonst {

xa0xa0xa0xa0xa0xa0xa0xa0 return len;

xa0xa0xa0xa0 }

}

```

in der wir die zuf llige Erzeugung einer Zahl zwischen 0 und 1 betrachtet haben und die M glichkeit in Betracht gezogen haben, dass der Wert Null ist, was zu Problemen f hren w rde, da der Logarithmus weniger unendlich w re.

Um die endg ltigen Positionen zu berechnen, m ssen Sie:

- ber mehrere Partikel iterieren (N)

- F r jede Partikelsch tzung die gefahrenen Stra en

- F gen Sie die Stra en hinzu, die die Ausbreitungsrichtungen abwechseln

In diesem Fall wird angenommen, dass das Teilchen bei jeder Kollision seine Ausbreitungsrichtung ndert. Zu Beginn f ngt es immer an zu reisen und vergr ert den Abstand, der als positive Richtung definiert ist (dir = 1). Bei jedem Absturz wird das dir-Zeichen invertiert (dir = -dir oder dir = 1, dies wird dir = -1).

F r die L nge des Schritts wird die zuvor definierte L ngenerzeugungsfunktion (exprob) aufgerufen, die mit der Adresse gewichtet wird, um die neue Position mit der vorherigen Position zu erhalten.

```

// particles (n de N)

for(n = 0;n < N;n++){

x = 0; // initial position

dir = 1; // initial direction

for(i = 0;i < sp;i++){

x = x + dir*exprob(len); // new position

dir = -dir; // change direction

}

// finish position calculation

// clasification of end position x in distribution p

}

```

Um die Verteilung der Positionen der Teilchen zu erhalten, kann folgende Iterationen durchgef hrt werden

```

0. Position und Startadresse definiert

1. Partikel in eine Richtung bewegen in einem Abstand der durch die Zufallswahrscheinlichkeitsfunktion erzeugt wird,

2. Richtung umkehren

3. Fortsetzung 1

```

Angenommen, wir eine bestimmte Zeit und das sich das Teilchen mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Somit kam die Position nach einer Zeit oder einem zur ck gelegten Weg bestimmt werden.

Mit dem Simulator zu spielen, haben wir das bemerkt

```

1. Es ist nur sinnvoll, Verteilungen von m glichen Positionen zu betrachten

2. Die Verteilung basiert auf der Bestimmung von Positionen in diskreten Bereichen

3. Bereiche kleinerer Gr e erfordern eine gr ere Anzahl von Iterationen

```