mechanisms

Wenn eine Welle den Strand erreicht, beginnt sie sich zu heben, w hrend sie die Strandneigung hinaufl uft. Dabei wird sie zunehmend flacher und dadurch langsamer. Eine nachfolgende zweite Welle neigt dazu, sich ber die vorherige zu schieben. Da das Wasser in dieser Zone tiefer ist, bewegt sich die zweite Welle schneller und berholt tendenziell die erste, die zuvor am Ufer ankam. Diese Wechselwirkung zwischen den Wellen f hrt zum Brechen der Welle und erzeugt das Ph nomen, das als Brandung bekannt ist.

image

Dieses Ph nomen kann durch die Beschreibung von der Wellenhöhe ($u$) mithilfe einer der Maximale Wellenhöhe ($z_0$)-Welle modelliert werden, die sich mit einem der Wellenvektor ($k$) und der Frecuencia angular ($\omega$) ausbreitet. Der Ausdruck f r der Position ($x$) und der Zeit ($t$) ist:

equation=12307

Das Wasser selbst f hrt eine Kreisbewegung aus, deren Geschwindigkeit die Beziehungen mit die Wellengeschwindigkeit ($v_{\omega}$) und der Meerestiefe ($h$) erf llt:

equation=16206

und

equation=16207

Wenn man sich daran erinnert, dass die Winkelgeschwindigkeit den pro Zeiteinheit zur ckgelegten Winkel darstellt, kann man erkennen, dass der Ausdruck

$\displaystyle\frac{2\pi}{T}$

einer vollst ndigen Umdrehung ($2\pi$) entspricht, geteilt durch die Zeit die Zeit ($T$), die f r einen Zyklus ben tigt wird. Daher wird die Winkelfrequenz ($\omega$) definiert als

equation=12335

Der Wellenvektor ($k$) ist der Faktor, der die Position multipliziert und entspricht dem Wert, bei dem, wenn sich die Welle entlang ein Wellenlänge ($\lambda$) bewegt, sie dieselbe Form annimmt, die sie urspr nglich hatte. Damit dies geschieht, muss folgende Bedingung erf llt sein:

$kx = k\lambda = 2\pi$

Daher haben wir mit der Wellenlänge ($\lambda$) festgelegt:

equation=12309

Die Wellengeschwindigkeit h ngt von der Wassertiefe und dem Faktor die Winkelfrequenz ($\omega$) ab, der aus der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) und der Wellenvektor ($k$) wie folgt bestimmt wird:

equation=16208

Bez glich der Phasengeschwindigkeit ($c_p$), das die Geschwindigkeit angibt, mit der sich jede Wellenkuppe fortbewegt, l sst sich dieser Wert mithilfe von der Meerestiefe ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) berechnen. Der Wert von der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) ergibt sich aus:

equation=12305

In diesem Zusammenhang bezeichnet die Phasengeschwindigkeit die Geschwindigkeit, mit der sich eine einzelne Schwingung oder Welle ausbreitet.

Wellen haben eine Geschwindigkeit, die von der Wassertiefe und dem Faktor der Wellenvektor ($k$) abh ngt, berechnet mit der Wellenlänge ($\lambda$) wie folgt:

equation=16208

F r der Gruppengeschwindigkeit ($c_g$), die die Geschwindigkeit repr sentiert, mit der sich der gesamte Wellenzug bewegt und nicht jede einzelne Welle, kann sie mit der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) berechnet werden. Diese wird mit der Meerestiefe ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) auf folgende Weise bestimmt:

equation=15646

Schlie lich kann der Gruppengeschwindigkeit ($c_g$) mit der folgenden Formel berechnet werden:

equation=12304

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Wellenzug oder eine Gruppe von Wellen im Wassermedium bewegt.

In der Wellenmechanik gibt es zwei charakteristische Geschwindigkeiten. Einerseits haben wir die Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Welle bewegt, die abh ngig von der Frequenz variieren kann und sich somit von einer Welle zur anderen unterscheidet.

Die zweite Art von Geschwindigkeit, die beobachtet wird, ist die eines Wellenpakets, d.h. einer Gruppe von Wellen unterschiedlicher Frequenzen und Phasen, die sich berlagern und einen Verbund bilden, der sich als Einheit bewegt. Diese Geschwindigkeit wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet.

Beide Geschwindigkeiten k nnen in dieser Animation beobachtet werden:

image

model

Der Wellenvektor ($k$) ist mit der Wellenlänge ($\lambda$) gleich:

kyon

Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich

kyon

Die Dispersionsrelation verkn pft die Winkelfrequenz ($\omega$) mit der Wellenvektor ($k$) und kann mithilfe von der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) ausgedr ckt werden, da diese dem Verh ltnis der Ersteren zur Zweiten entspricht. Daher l sst sich die Beziehung wie folgt schreiben:

kyon

Der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) entspricht der Geschwindigkeit, mit der sich jede Wellenkrone bewegt. Diese kann unter Verwendung der Werte von der Meerestiefe ($h$), der Wellenlänge ($\lambda$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) bestimmt werden. Die Geschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit ($c_p$) wird wie folgt berechnet:

kyon

Der Gruppengeschwindigkeit ($c_g$) wird unter Verwendung der Werte von der Wellenvektor ($k$), der Meerestiefe ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) wie folgt berechnet:

kyon

Eine Welle l sst sich n herungsweise als eine Sinusfunktion in Abh ngigkeit von den Variablen der Position ($x$) und der Zeit ($t$) beschreiben.

Die Funktion ber cksichtigt die Werte von der Wellenhöhe ($u$) an jedem Punkt sowie der Maximale Wellenhöhe ($z_0$), der Wellenvektor ($k$) und der Frecuencia angular ($\omega$):

kyon

Die Welle besteht aus Zonen, die sich mit einer die Winkelfrequenz ($\omega$) und die Wellengeschwindigkeit ($v_{\omega}$) bewegen, berechnet aus der Maximale Wellenhöhe ($z_0$), der Wellenvektor ($k$) und der Meerestiefe ($h$) mithilfe von:

kyon

Die horizontale Bewegung des Wassers in der Welle erfolgt mit die Horizontale Geschwindigkeit der Welle ($v_{\omega,x}$), die von die Wellengeschwindigkeit ($v_{\omega}$), der Meerestiefe ($h$), der Wellenvektor ($k$) und die Winkelfrequenz ($\omega$) abh ngt, f r der Position ($x$), der Wellenhöhe ($u$) und der Zeit ($t$), mittels:

kyon

Die vertikale Bewegung des Wassers in der Welle erfolgt mit die Vertikale Geschwindigkeit der Welle ($v_{\omega,z}$), die von die Wellengeschwindigkeit ($v_{\omega}$), der Meerestiefe ($h$), der Wellenvektor ($k$) und die Winkelfrequenz ($\omega$) abh ngt, f r der Position ($x$), der Wellenhöhe ($u$) und der Zeit ($t$), mittels:

kyon