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Balance Gleichung Lösung

Storyboard

Die Gleichungen für die Temperatur der Erdoberfläche, des Erdbodens und der Erdoberfläche können durch Störungstechniken gelöst werden. Dies setzt geringe Schwankungen der Sonnenintensität, der Albedos und der Bedeckungsfaktoren voraus und es wird geschätzt, wie sich diese auf die Schwankungen dieser Temperaturen auswirken.

>Modell

ID:(575, 0)

Grundlagen des Modells

Beschreibung

Da die Parameter des Modells nur geringfügig um ihre Mittelwerte variieren, kann um die Mittelwerte herum eine Taylor-Entwicklung durchgeführt werden. Dadurch ergeben sich lineare Gleichungen, die exakt gelöst werden können.

ID:(84, 0)

Grundmodell des Strahlungsflusses

Bild

Das folgende Diagramm veranschaulicht die Hauptstrahlungsflüsse (sichtbar und infrarot) in einem vereinfachten Modell der Erde:

Dieses Diagramm stellt vereinfacht die Wechselwirkung von Strahlung auf der Erde dar. Sichtbare Strahlung von der Sonne erreicht die Erdoberfläche, wo sie entweder zurück ins All reflektiert, von der Erdoberfläche absorbiert und in Infrarotstrahlung umgewandelt oder von der Atmosphäre absorbiert wird. Gleichzeitig gibt die Erde Infrarotstrahlung in den Weltraum ab.Diese Strahlungsflüsse sind entscheidend, um das Energiegleichgewicht unseres Planeten und die Prozesse, die das Klima regulieren, zu verstehen.

ID:(7331, 0)

Annahme Evolution der Gesellschaft

Beschreibung

Um die zukünftige Entwicklung des Klimas zu simulieren, wurden vier mögliche Szenarien angenommen:- A1: Schnelles wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch verdreifacht sich bis zum Jahr 2100. Bevölkerungszuwachs auf 9 Milliarden bis 2050 und anschließender langsamer Rückgang.- A2: Moderate wirtschaftliche Entwicklung, der Energieverbrauch steigt allmählich an, verdreifacht sich jedoch bis zum Jahr 2100. Kontinuierlicher Bevölkerungszuwachs auf 15 Milliarden bis 2100.- B1: Schnelles wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch nimmt bis zum Jahr 2100 ab. Bevölkerungszuwachs auf 9 Milliarden bis 2050 und anschließender langsamer Rückgang.- B2: Langsames wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch steigt deutlich an, stabilisiert sich jedoch bis zum Jahr 2100. Langsamer Bevölkerungszuwachs auf 10 Milliarden bis 2100.Für jedes dieser Szenarien wird Folgendes geschätzt:- Der Energieverbrauch und die Art und Weise, wie sie erzeugt wird.- Die Produktion und Art der konsumierten Lebensmittel.Darüber hinaus wird die Entstehung der entsprechenden Gase geschätzt.

ID:(7324, 0)

Bilanzgleichungen

Beschreibung

Im Fall des Gleichgewichts gelten die folgenden drei Strahlungsgleichgewichtsgleichungen:

$(1 - a_a)(1 - \gamma_{\nu})I_s - \kappa (T_e - T_b) - \sigma\epsilon_eT_e^4 + \sigma\epsilon_b T_b^4 = 0$

$\kappa(T_e - T_b) + \gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^4 - 2\sigma\epsilon_bT_b^4 = 0$

$(1 - a_a)\gamma_{\nu} + \sigma\epsilon_b T_b^4 - 2\sigma\epsilon_t T_t^4 = 0$

Dabei ist $T_e$ die Temperatur der Erde, $T_b$ die Temperatur in der unteren Atmosphäre und $T_t$ die Temperatur in der oberen Atmosphäre. Zusätzlich haben wir die durchschnittliche solare Strahlung $I_s$, die Albedo-Werte der Atmosphäre und der Erde, bezeichnet als $a_a$ und $a_e$ respectively, $\gamma_{u}$ und $\gamma_i$ repräsentieren die Abdeckungsfaktoren im sichtbaren und infraroten Bereich, $\epsilon_e$ und $\epsilon_a$ repräsentieren die Emissionsfähigkeit der Erde und der Atmosphäre, und $\sigma$ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante.

ID:(85, 0)

Anneherungs Gleichungen

Beschreibung

Unter Verwendung der Näherungen ergibt sich für die Gleichung in einer linearen Approximation:

$-\kappa(\delta T_e-\delta T_b)-4\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\delta a_e(1-\gamma_{\nu})I_s-(1-a_e)\delta\gamma_{\nu}I_s=0$

Ähnlich erhält man für die zweite Gleichung:

$\kappa(\delta T_e-\delta T_b)+\sigma\epsilon_e T_e^4\delta\gamma_i+4\gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_t T_t^3\delta T_t-8\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b=0$

Und für die dritte Gleichung:

$-2\sigma \epsilon_t T_t^3\delta T_t+\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\gamma_{\nu}I_s\delta a_a+(1-a_a) I_s\delta\gamma_i=0$

Diese drei Gleichungen bilden ein System linearer Gleichungen, um die Variationen der Temperaturen $\delta T_e$, $\delta T_b$ und $\delta T_t$ in Abhängigkeit von den Variationen der Albedos $\delta a_e$ und $\delta a_a$ und der Deckungsfaktoren $\delta \gamma_{u}$ und $\delta \gamma_i$ zu berechnen.

ID:(87, 0)

Modellsimulator

Beschreibung

Die Strahlungsbilanzgleichungen ermöglichen es uns, die Temperaturen an der Erdoberfläche $T_e$, in der unteren Atmosphäre $T_b$ und an der Spitze $T_t$ zu berechnen. Diese Gleichungen werden wie folgt dargestellt:

Gleichung 1: Die Änderung der Temperatur an der Erdoberfläche wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_eC_e\displaystyle\frac{dT_e}{dt}=(1-a_e)(1-\gamma_v)I_s-\kappa(T_e-T_b)-\sigma\epsilon T_e^4+\sigma\epsilon T_b^4$

Dabei ist $M_e$ die Masse der Erde, $C_e$ die Wärmekapazität der Erde, $a_e$ das Albedo der Erde, $\gamma_v$ der Anteil der von der Atmosphäre absorbierten sichtbaren Strahlung, $I_s$ die einfallende Sonnenstrahlung, $\kappa$ die Wärmeleitfähigkeit, $\sigma$ die Stefan-Boltzmann-Konstante und $\epsilon$ die Emissionsfähigkeit der Erde.

Gleichung 2: Die Änderung der Temperatur in der unteren Atmosphäre wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_bC_b\displaystyle\frac{dT_b}{dt}=\kappa(T_e-T_b)+\gamma_i\sigma\epsilon T_e^4-2\sigma\epsilon T_b^4+\sigma\epsilon T_t^4=0$

Dabei ist $M_b$ die Masse der Atmosphäre, $C_b$ die Wärmekapazität der Atmosphäre und $\gamma_i$ der Anteil der von der Atmosphäre absorbierten Infrarotstrahlung.

Gleichung 3: Die Änderung der Temperatur an der Spitze der Atmosphäre wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_tC_t\displaystyle\frac{dT_t}{dt}=(1-a_a)\gamma_vI_s+\sigma\epsilon T_b^4-2\sigma\epsilon T_t^4=0$

Dabei ist $M_t$ die Masse der oberen Atmosphäre und $C_t$ die Wärmekapazität der oberen Atmosphäre.Diese Gleichungen repräsentieren das Gleichgewicht zwischen der einfallenden Sonnenstrahlung, der von der Erde abgegebenen Strahlung und der zwischen verschiedenen Schichten der Erde und der Atmosphäre übertragenen Strahlung. Durch Lösung dieser Gleichungen können wir die Temperaturen in jeder dieser Schichten bestimmen.

ID:(6867, 0)

Numerische Lösung

Beschreibung

Das Gleichungssystem kann analytisch gelöst werden. Wenn wir die Ausdrücke für die Parameter des aktuellen Zustands der Erde ($a_e = 0.152$, $a_a = 0.535$, $\gamma_{
u} = 0.421$, $\gamma_i=0.897$, $\kappa = 2.226 , \text{W/m}^2\text{K}^{-1}$, $\epsilon_e = \epsilon_b = \epsilon_t = 1$, $I_s = 342 , \text{W/m}^2$, $T_e = 14.8^\circ \text{C}$, $T_b = 1.79^\circ \text{C}$ und $T_t = -30.98^\circ \text{C}$) auswerten, erhalten wir:

$\delta T_e = 0.240\delta I_s - 97.978\delta\gamma_v+123.671\delta \gamma_i - 84.112\delta a_e - 22.827\delta a_a$

$\delta T_b = 0.193\delta I_s - 66.120\delta \gamma_v + 136.209\delta \gamma_i - 64.106\delta a_e - 25.142\delta a_a$

$\delta T_t = 0.172\delta I_s - 23.693\delta \gamma_v + 99.662\delta \gamma_i-46.905\delta a_e - 40.745\delta a_a$

ID:(7319, 0)

Calentamiento Global bajo distintos escenarios

Bild

Si se consideran los distintos escenarios B1, A1B y A1 se puede estudiar la probable evolución de la temperatura sobre la superficie del planeta.

Calentamiento Global bajo distintos escenarios

5.3-------7.67.57.68.27.67.6-8.78.78.711.38.79.3-7.17.17.015.17.010.421-------535657415351-16418118782136110-5255295502433282356.0-------11.212.110.011.010.09.0-23.116.012.316.511.711.2-30.313.14.328.95.213.81.1-------1.50.50.31.20.60.0-0.80.40.00.9-0.4-0.2--2.10.40.00.2-1.0-0.5310-------416421415424377384-630452500598359505-7352892748892365976.7-------9.37.26.19.68.16.1-14.57.46.112.08.36.3-16.67.05.416.55.76.9

Escenarios	1990	A1FI	A1B	A1T	A2	B1	B2
Población (1E+9)
2020
2050
2100
GDP (1E+12 1990US$/yr)
2020
2050
2100
CO2, fosil (GtC/yr)
2020
2050
2100
CO2, agro (GtC/yr)
2020
2050
2100
Metano, (MtCH4/yr)
2020
2050
2100
NO, (MtN/yr)
2020
2050
2100

ID:(7333, 0)

Calentamiento Global (ejemplo)

Bild

La siguiente gráfica muestra el calentamiento según zona geográfica:

Calentamiento Global (ejemplo)

ID:(7332, 0)

Balance Gleichung Lösung

Modell

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$I_s$

I_s

Intensidad de Radiación Solar

W/m^2

$I_{st}$

I_st

Nueva Intensidad de Radiación Solar

W/m^2

$T_{bt}$

T_bt

Nueva Temperatura atmosferica inferior

$T_{tt}$

T_tt

Nueva Temperatura atmosferica superior

$T_{et}$

T_et

Nueva Temperatura terrestre

$T_e$

T_e

Temperatur der Planetenoberfläche

$T_t$

T_t

Temperatur in der oberen Atmosphäre

$T_b$

T_b

Temperatura atmosferica inferior ($T_b$)

$\delta a_a$

da_a

Variación Albedo atmosférico

$\delta a_e$

da_e

Variación Albedo terrestre

$\delta\gamma_i$

dgamma_i

Variación Cobertura infrarroja

$\delta\gamma_v$

dgamma_v

Variación Cobertura visible

$\delta I_s$

dI_s

Variación de Intensidad de Radiación Solar

W/m^2

$\delta T_b$

dT_b

Variación de la Temperatura atmosferica inferior ($\delta T_b)

$\delta T_t$

dT_t

Variación de la Temperatura atmosferica superior ($\delta T_t)

$\delta T_e$

dT_e

Variación de la Temperatura terrestre ($\delta T_e)

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$\delta T_e = 0.240\delta I_s - 97.978\delta\gamma_v+123.671\delta \gamma_i - 84.112\delta a_e - 22.827\delta a_a$

dT_e = 0.240dI_s - 97.978dg_v +123.671dg_i - 84.112da_e - 22.827da_a

(ID 7440)

$\delta T_b = 0.193\delta I_s - 66.120\delta \gamma_v + 136.209\delta \gamma_i - 64.106\delta a_e - 25.142\delta a_a$

dT_b = 0.193dI_s - 66.120dg_v + 136.209dg_i - 64.106da_e - 25.142da_a

(ID 7441)

$\delta T_t = 0.172\delta I_s - 23.693\delta \gamma_v + 99.662\delta \gamma_i-46.905\delta a_e - 40.745\delta a_a$

dT_t = 0.172dI_s - 23.693dg_v + 99.662dg_i-46.905da_e - 40.745da_a

(ID 7442)

$ I_{st} = I_s + \delta I_s $

I_st = I_s + dI_s

(ID 7604)

$ T_{et} = T_e + \delta T_e $

T_et = T_e + dT_e

(ID 7605)

$ T_{bt} = T_b + \delta T_b $

T_bt = T_b + dT_b

(ID 7606)

$ T_{tt} = T_t + \delta T_t $

T_tt = T_t + dT_t

(ID 7607)

Beispiele

Grundlagen des Modells

Da die Parameter des Modells nur geringf gig um ihre Mittelwerte variieren, kann um die Mittelwerte herum eine Taylor-Entwicklung durchgef hrt werden. Dadurch ergeben sich lineare Gleichungen, die exakt gel st werden k nnen.

(ID 84)

Grundmodell des Strahlungsflusses

Das folgende Diagramm veranschaulicht die Hauptstrahlungsfl sse (sichtbar und infrarot) in einem vereinfachten Modell der Erde:

Dieses Diagramm stellt vereinfacht die Wechselwirkung von Strahlung auf der Erde dar. Sichtbare Strahlung von der Sonne erreicht die Erdoberfl che, wo sie entweder zur ck ins All reflektiert, von der Erdoberfl che absorbiert und in Infrarotstrahlung umgewandelt oder von der Atmosph re absorbiert wird. Gleichzeitig gibt die Erde Infrarotstrahlung in den Weltraum ab.Diese Strahlungsfl sse sind entscheidend, um das Energiegleichgewicht unseres Planeten und die Prozesse, die das Klima regulieren, zu verstehen.

(ID 7331)

Annahme Evolution der Gesellschaft

Um die zuk nftige Entwicklung des Klimas zu simulieren, wurden vier m gliche Szenarien angenommen:- A1: Schnelles wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch verdreifacht sich bis zum Jahr 2100. Bev lkerungszuwachs auf 9 Milliarden bis 2050 und anschlie ender langsamer R ckgang.- A2: Moderate wirtschaftliche Entwicklung, der Energieverbrauch steigt allm hlich an, verdreifacht sich jedoch bis zum Jahr 2100. Kontinuierlicher Bev lkerungszuwachs auf 15 Milliarden bis 2100.- B1: Schnelles wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch nimmt bis zum Jahr 2100 ab. Bev lkerungszuwachs auf 9 Milliarden bis 2050 und anschlie ender langsamer R ckgang.- B2: Langsames wirtschaftliches Wachstum, der Energieverbrauch steigt deutlich an, stabilisiert sich jedoch bis zum Jahr 2100. Langsamer Bev lkerungszuwachs auf 10 Milliarden bis 2100.F r jedes dieser Szenarien wird Folgendes gesch tzt:- Der Energieverbrauch und die Art und Weise, wie sie erzeugt wird.- Die Produktion und Art der konsumierten Lebensmittel.Dar ber hinaus wird die Entstehung der entsprechenden Gase gesch tzt.

(ID 7324)

Bilanzgleichungen

Im Fall des Gleichgewichts gelten die folgenden drei Strahlungsgleichgewichtsgleichungen:

$(1 - a_a)(1 - \gamma_{\nu})I_s - \kappa (T_e - T_b) - \sigma\epsilon_eT_e^4 + \sigma\epsilon_b T_b^4 = 0$

$\kappa(T_e - T_b) + \gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^4 - 2\sigma\epsilon_bT_b^4 = 0$

$(1 - a_a)\gamma_{\nu} + \sigma\epsilon_b T_b^4 - 2\sigma\epsilon_t T_t^4 = 0$

Dabei ist $T_e$ die Temperatur der Erde, $T_b$ die Temperatur in der unteren Atmosph re und $T_t$ die Temperatur in der oberen Atmosph re. Zus tzlich haben wir die durchschnittliche solare Strahlung $I_s$, die Albedo-Werte der Atmosph re und der Erde, bezeichnet als $a_a$ und $a_e$ respectively, $\gamma_{u}$ und $\gamma_i$ repr sentieren die Abdeckungsfaktoren im sichtbaren und infraroten Bereich, $\epsilon_e$ und $\epsilon_a$ repr sentieren die Emissionsf higkeit der Erde und der Atmosph re, und $\sigma$ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante.

(ID 85)

Anneherungs Gleichungen

Unter Verwendung der N herungen ergibt sich f r die Gleichung in einer linearen Approximation:

$-\kappa(\delta T_e-\delta T_b)-4\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\delta a_e(1-\gamma_{\nu})I_s-(1-a_e)\delta\gamma_{\nu}I_s=0$

hnlich erh lt man f r die zweite Gleichung:

$\kappa(\delta T_e-\delta T_b)+\sigma\epsilon_e T_e^4\delta\gamma_i+4\gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_t T_t^3\delta T_t-8\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b=0$

Und f r die dritte Gleichung:

$-2\sigma \epsilon_t T_t^3\delta T_t+\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\gamma_{\nu}I_s\delta a_a+(1-a_a) I_s\delta\gamma_i=0$

Diese drei Gleichungen bilden ein System linearer Gleichungen, um die Variationen der Temperaturen $\delta T_e$, $\delta T_b$ und $\delta T_t$ in Abh ngigkeit von den Variationen der Albedos $\delta a_e$ und $\delta a_a$ und der Deckungsfaktoren $\delta \gamma_{u}$ und $\delta \gamma_i$ zu berechnen.

(ID 87)

Modellsimulator

Die Strahlungsbilanzgleichungen erm glichen es uns, die Temperaturen an der Erdoberfl che $T_e$, in der unteren Atmosph re $T_b$ und an der Spitze $T_t$ zu berechnen. Diese Gleichungen werden wie folgt dargestellt:

Gleichung 1: Die nderung der Temperatur an der Erdoberfl che wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_eC_e\displaystyle\frac{dT_e}{dt}=(1-a_e)(1-\gamma_v)I_s-\kappa(T_e-T_b)-\sigma\epsilon T_e^4+\sigma\epsilon T_b^4$

Dabei ist $M_e$ die Masse der Erde, $C_e$ die W rmekapazit t der Erde, $a_e$ das Albedo der Erde, $\gamma_v$ der Anteil der von der Atmosph re absorbierten sichtbaren Strahlung, $I_s$ die einfallende Sonnenstrahlung, $\kappa$ die W rmeleitf higkeit, $\sigma$ die Stefan-Boltzmann-Konstante und $\epsilon$ die Emissionsf higkeit der Erde.

Gleichung 2: Die nderung der Temperatur in der unteren Atmosph re wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_bC_b\displaystyle\frac{dT_b}{dt}=\kappa(T_e-T_b)+\gamma_i\sigma\epsilon T_e^4-2\sigma\epsilon T_b^4+\sigma\epsilon T_t^4=0$

Dabei ist $M_b$ die Masse der Atmosph re, $C_b$ die W rmekapazit t der Atmosph re und $\gamma_i$ der Anteil der von der Atmosph re absorbierten Infrarotstrahlung.

Gleichung 3: Die nderung der Temperatur an der Spitze der Atmosph re wird mit folgender Gleichung berechnet:

$M_tC_t\displaystyle\frac{dT_t}{dt}=(1-a_a)\gamma_vI_s+\sigma\epsilon T_b^4-2\sigma\epsilon T_t^4=0$

Dabei ist $M_t$ die Masse der oberen Atmosph re und $C_t$ die W rmekapazit t der oberen Atmosph re.Diese Gleichungen repr sentieren das Gleichgewicht zwischen der einfallenden Sonnenstrahlung, der von der Erde abgegebenen Strahlung und der zwischen verschiedenen Schichten der Erde und der Atmosph re bertragenen Strahlung. Durch L sung dieser Gleichungen k nnen wir die Temperaturen in jeder dieser Schichten bestimmen.

(ID 6867)

Numerische L sung

Das Gleichungssystem kann analytisch gel st werden. Wenn wir die Ausdr cke f r die Parameter des aktuellen Zustands der Erde ($a_e = 0.152$, $a_a = 0.535$, $\gamma_{
u} = 0.421$, $\gamma_i=0.897$, $\kappa = 2.226 , \text{W/m}^2\text{K}^{-1}$, $\epsilon_e = \epsilon_b = \epsilon_t = 1$, $I_s = 342 , \text{W/m}^2$, $T_e = 14.8^\circ \text{C}$, $T_b = 1.79^\circ \text{C}$ und $T_t = -30.98^\circ \text{C}$) auswerten, erhalten wir:

$\delta T_e = 0.240\delta I_s - 97.978\delta\gamma_v+123.671\delta \gamma_i - 84.112\delta a_e - 22.827\delta a_a$

$\delta T_b = 0.193\delta I_s - 66.120\delta \gamma_v + 136.209\delta \gamma_i - 64.106\delta a_e - 25.142\delta a_a$

$\delta T_t = 0.172\delta I_s - 23.693\delta \gamma_v + 99.662\delta \gamma_i-46.905\delta a_e - 40.745\delta a_a$

(ID 7319)

Calentamiento Global bajo distintos escenarios

Si se consideran los distintos escenarios B1, A1B y A1 se puede estudiar la probable evoluci n de la temperatura sobre la superficie del planeta.

Calentamiento Global bajo distintos escenarios

Escenarios	1990	A1FI	A1B	A1T	A2	B1	B2
Poblaci n (1E+9)
2020
2050
2100
GDP (1E+12 1990US$/yr)
2020
2050
2100
CO2, fosil (GtC/yr)
2020
2050
2100
CO2, agro (GtC/yr)
2020
2050
2100
Metano, (MtCH4/yr)
2020
2050
2100
NO, (MtN/yr)
2020
2050
2100

(ID 7333)

Calentamiento Global (ejemplo)

La siguiente gr fica muestra el calentamiento seg n zona geogr fica:

Calentamiento Global (ejemplo)

(ID 7332)

ID:(575, 0)