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Aceleração constante, dois estágios
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No caso de um movimento acelerado em duas etapas, quando se transita da primeira para a segunda aceleração, a velocidade final da primeira etapa se torna a velocidade inicial da segunda. O mesmo se aplica à posição, onde a posição final da primeira etapa é igual à posição inicial da segunda etapa.
Ao contrário do modelo de duas velocidades, este modelo não apresenta problemas de descontinuidade, exceto pelo fato de que a aceleração pode mudar abruptamente, o que é tecnicamente possível, mas muitas vezes não muito realista.
ID:(1435, 0)
Aceleração constante, dois estágios
Descrição
No caso de um movimento acelerado em duas etapas, quando se transita da primeira para a segunda aceleração, a velocidade final da primeira etapa se torna a velocidade inicial da segunda. O mesmo se aplica à posição, onde a posição final da primeira etapa é igual à posição inicial da segunda etapa. Ao contrário do modelo de duas velocidades, este modelo não apresenta problemas de descontinuidade, exceto pelo fato de que a aceleração pode mudar abruptamente, o que é tecnicamente possível, mas muitas vezes não muito realista.
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Cálculos
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Equação
A ser usado
Equações
No caso em que la aceleração constante ($a_0$) igual a la aceleração média ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Portanto, se considerarmos la diferença de velocidade ($\Delta v$) como
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) como
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
temos que a equa o para la aceleração constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
pode ser escrita como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
portanto, ao rearranjarmos, obtemos
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
No caso em que la aceleração constante ($a_0$) igual a la aceleração média ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Portanto, se considerarmos la diferença de velocidade ($\Delta v$) como
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) como
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
temos que a equa o para la aceleração constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
pode ser escrita como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
portanto, ao rearranjarmos, obtemos
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
No caso de la aceleração constante ($a_0$), la velocidade ($v$) em fun o de o tempo ($t$) uma reta que passa por o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade inicial ($v_0$) da forma:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Como la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) igual rea sob a curva velocidade-tempo, podemos somar a contribui o do ret ngulo:
$v_0(t-t_0)$
e do tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Com isso, obtemos com la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$):
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Resultando em:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
No caso de la aceleração constante ($a_0$), la velocidade ($v$) em fun o de o tempo ($t$) uma reta que passa por o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade inicial ($v_0$) da forma:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Como la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) igual rea sob a curva velocidade-tempo, podemos somar a contribui o do ret ngulo:
$v_0(t-t_0)$
e do tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Com isso, obtemos com la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$):
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Resultando em:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Se resolvermos as equa es para o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) na equa o de la velocidade ($v$), que depende de la velocidade inicial ($v_0$) e la aceleração constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Ent o, substituindo essa express o na equa o de la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtemos uma express o do caminho percorrido em fun o da velocidade:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Se resolvermos as equa es para o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) na equa o de la velocidade ($v$), que depende de la velocidade inicial ($v_0$) e la aceleração constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Ent o, substituindo essa express o na equa o de la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtemos uma express o do caminho percorrido em fun o da velocidade:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
A defini o de la aceleração média ($\bar{a}$) considerada como a rela o entre la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$). Ou seja,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
e
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A rela o entre ambos definida como la aceleração centrífuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
(ID 3678)
A defini o de la aceleração média ($\bar{a}$) considerada como a rela o entre la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$). Ou seja,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
e
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A rela o entre ambos definida como la aceleração centrífuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
(ID 3678)
Se partirmos de la velocidade ($s_0$) e quisermos calcular la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), é necessário definir um valor para la posição ($s$).
Em um sistema unidimensional, la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) é obtido simplesmente subtraindo la velocidade ($s_0$) de la posição ($s$), resultando em:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Se partirmos de la velocidade ($s_0$) e quisermos calcular la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), é necessário definir um valor para la posição ($s$).
Em um sistema unidimensional, la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) é obtido simplesmente subtraindo la velocidade ($s_0$) de la posição ($s$), resultando em:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
(ID 4355)
Exemplos
(ID 15397)
Em um cen rio de movimento em duas etapas, primeiro o objeto modifica sua velocidade em la diferença de velocidade na primeira etapa ($\Delta v_1$) durante um intervalo de tempo de um tempo decorrido na primeira etapa ($\Delta t_1$) com uma acelera o de uma aceleração durante a primeira fase ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, na segunda etapa, ele avan a modificando sua velocidade em la diferença de velocidade na segunda etapa ($\Delta v_2$) durante um intervalo de tempo de o tempo gasto na segunda etapa ($\Delta t_2$) com uma acelera o de la aceleração durante a segunda etapa ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Ao representar isso graficamente, obtemos um diagrama de velocidade e tempo conforme mostrado abaixo:
A chave aqui que os valores o tempo decorrido na primeira etapa ($\Delta t_1$) e o tempo gasto na segunda etapa ($\Delta t_2$) s o sequenciais, assim como os valores la diferença de velocidade na primeira etapa ($\Delta v_1$) e la diferença de velocidade na segunda etapa ($\Delta v_2$).
(ID 4829)
No caso de um movimento em duas etapas, a primeira etapa pode ser descrita por uma fun o que envolve os pontos o tempo inicial ($t_0$), o tempo final da primeira e início da segunda etapa ($t_1$), la velocidade inicial ($v_0$) e la velocidade do primeiro estágio ($v_1$), representada por uma reta com uma inclina o de la aceleração durante a primeira fase ($a_1$):
| $ v_1 = v_0 + a_1 ( t_1 - t_0 )$ |
Para a segunda etapa, definida pelos pontos la velocidade do primeiro estágio ($v_1$), la velocidade do segundo estágio ($v_2$), o tempo final da primeira e início da segunda etapa ($t_1$) e o hora de término da segunda etapa ($t_2$), empregada uma segunda reta com uma inclina o de la aceleração durante a segunda etapa ($a_2$):
| $ v_2 = v_1 + a_2 ( t_2 - t_1 )$ |
que representada como:
(ID 4357)
No caso de um movimento em duas etapas, a posi o em que a primeira etapa termina coincide com a posi o em que a segunda etapa come a ($s_1$).
Da mesma forma, o tempo em que a primeira etapa termina coincide com o tempo em que a segunda etapa come a ($t_1$).
Dado que o movimento definido pela acelera o experimentada, a velocidade alcan ada no final da primeira etapa deve corresponder velocidade inicial da segunda etapa ($v_1$).
No caso de uma acelera o constante, na primeira etapa, o primeira posição final e largada na segunda etapa ($s_1$) depende de la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la aceleração durante a primeira fase ($a_1$), o tempo final da primeira e início da segunda etapa ($t_1$) e o tempo inicial ($t_0$), como segue:
| $ s_1 = s_0 + v_0 ( t_1 - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t_1 - t_0 )^2$ |
Na segunda etapa, la posição final da segunda fase ($s_2$) depende de o primeira posição final e largada na segunda etapa ($s_1$), la velocidade do primeiro estágio ($v_1$), la aceleração durante a segunda etapa ($a_2$), o tempo final da primeira e início da segunda etapa ($t_1$) e o hora de término da segunda etapa ($t_2$), como segue:
| $ s_2 = s_1 + v_1 ( t_2 - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t_2 - t_1 )^2$ |
que representado como:
(ID 2254)
Se o movimento envolve duas etapas com diferentes acelera es constantes $a_1$ e $a_2$:
• Come a em um tempo $t_0$ em uma posi o $s_0$ com velocidade $v_0$.
• Termina em um tempo $t_2$ em uma posi o $s_2$ com velocidade $v_2$.
A chave est na transi o de uma etapa para outra:
• As velocidades variam de acordo com as acelera es, mas s o iguais no ponto de transi o entre as etapas ($v_1$).
• As posi es variam de acordo com a velocidade, mas s o iguais no ponto de transi o entre as etapas ($s_1$).
• Os tempos s o iguais no ponto de transi o entre as etapas ($t_1$).
Isso resumido nos seguintes gr ficos:
As equa es que satisfazem essas rela es originam o seguinte modelo, que permite calcular qualquer cen rio:
(ID 15400)
ID:(1435, 0)