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Aceleración constante, dos etapas
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En el caso de un movimiento acelerado en dos etapas, en el momento en que se pasa de la primera a la segunda aceleración, la velocidad final de la primera etapa se convierte en la velocidad inicial de la segunda. Lo mismo ocurre con la posición, donde la posición final de la primera etapa es igual a la posición inicial de la segunda etapa.
A diferencia del modelo de dos velocidades, este modelo no presenta problemas de discontinuidad, excepto que la aceleración puede cambiar de forma abrupta, lo cual es técnicamente posible aunque muchas veces no tan realista.
ID:(1435, 0)
Aceleración constante, dos etapas
Descripción
En el caso de un movimiento acelerado en dos etapas, en el momento en que se pasa de la primera a la segunda aceleración, la velocidad final de la primera etapa se convierte en la velocidad inicial de la segunda. Lo mismo ocurre con la posición, donde la posición final de la primera etapa es igual a la posición inicial de la segunda etapa. A diferencia del modelo de dos velocidades, este modelo no presenta problemas de discontinuidad, excepto que la aceleración puede cambiar de forma abrupta, lo cual es técnicamente posible aunque muchas veces no tan realista.
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En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
(ID 4355)
Ejemplos
(ID 15397)
En un escenario de movimiento en dos etapas, primero el objeto modifica su velocidad en la diferencia de velocidad en la primera etapa ($\Delta v_1$) durante un lapso de tiempo de un tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$) con una aceleraci n de una aceleración durante la primera etapa ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, en la segunda etapa, avanza modificando su velocidad en la diferencia de velocidad en la segunda etapa ($\Delta v_2$) durante un lapso de tiempo de el tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$) con una aceleraci n de la aceleración durante la segunda etapa ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Al representar esto gr ficamente, obtenemos un diagrama de velocidad y tiempo como se muestra a continuaci n:
La clave aqu es que los valores el tiempo transcurrido en la primera etapa ($\Delta t_1$) y el tiempo transcurrido en la segunda etapa ($\Delta t_2$) son secuenciales, al igual que los valores la diferencia de velocidad en la primera etapa ($\Delta v_1$) y la diferencia de velocidad en la segunda etapa ($\Delta v_2$).
(ID 4829)
En el caso de un movimiento en dos etapas, la primera etapa se puede describir mediante una funci n que involucra los puntos el tiempo inicial ($t_0$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$), la velocidad inicial ($v_0$) y la velocidad primera etapa ($v_1$), representada por una recta con pendiente de la aceleración durante la primera etapa ($a_1$):
| $ v_1 = v_0 + a_1 ( t_1 - t_0 )$ |
Para la segunda etapa, definida por los puntos la velocidad primera etapa ($v_1$), la velocidad segunda etapa ($v_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), se emplea una segunda recta con pendiente de la aceleración durante la segunda etapa ($a_2$):
| $ v_2 = v_1 + a_2 ( t_2 - t_1 )$ |
que se representa como:
(ID 4357)
En el caso de un movimiento en dos etapas, la posici n en la que termina la primera etapa coincide con la posici n del inicio de la segunda etapa ($s_1$).
Del mismo modo, el tiempo en que termina la primera etapa coincide con el tiempo de inicio de la segunda etapa ($t_1$).
Dado que el movimiento se define seg n la aceleraci n experimentada, la velocidad alcanzada al final de la primera etapa debe coincidir con la velocidad inicial de la segunda etapa ($v_1$).
En el caso de una aceleraci n constante, en la primera etapa, el posición final primera e inició segunda etapa ($s_1$) depende de la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), la aceleración durante la primera etapa ($a_1$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo inicial ($t_0$), seg n:
| $ s_1 = s_0 + v_0 ( t_1 - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t_1 - t_0 )^2$ |
En la segunda etapa, la posición final segunda etapa ($s_2$) depende de el posición final primera e inició segunda etapa ($s_1$), la velocidad primera etapa ($v_1$), la aceleración durante la segunda etapa ($a_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), seg n:
| $ s_2 = s_1 + v_1 ( t_2 - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t_2 - t_1 )^2$ |
que se representa como:
rea bajo la curva aceleraci n constante
(ID 2254)
Si el movimiento consiste en dos etapas con diferentes aceleraciones constantes $a_1$ y $a_2$:
• Comienza en un tiempo $t_0$ en una posici n $s_0$ y velocidad $v_0$.
• Termina el movimiento en un tiempo $t_2$ en una posici n $s_2$ y velocidad $v_2$.
La clave reside en el proceso de transici n de una etapa a otra:
• Las velocidades var an seg n las aceleraciones pero son iguales en el punto de transici n entre etapas ($v_1$).
• Las posiciones var an seg n la velocidad pero son iguales en el punto de transici n entre etapas ($s_1$).
• Los tiempos son iguales en el punto de transici n entre etapas ($t_1$).
Esto se resume en las siguientes gr ficas:
Las ecuaciones que cumplen estas relaciones dan origen al siguiente modelo que permite calcular cualquier escenario:
(ID 15400)
ID:(1435, 0)