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Elektrisches Potenzial
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Jedes Mal, wenn das Konzept der Kraft und damit das Konzept der Energie eingeführt wird, kann die Kraft unter Verwendung potenzieller Energie modelliert werden. Auf die gleiche Weise kann eine potentielle Energie für die durch das Coulombsche Gesetz definierte Kraft abgeleitet werden, die in diesem Fall als elektrisches Potential bezeichnet wird.
ID:(1561, 0)
Elektrisches Potenzial
Beschreibung
Jedes Mal, wenn das Konzept der Kraft und damit das Konzept der Energie eingeführt wird, kann die Kraft unter Verwendung potenzieller Energie modelliert werden. Auf die gleiche Weise kann eine potentielle Energie für die durch das Coulombsche Gesetz definierte Kraft abgeleitet werden, die in diesem Fall als elektrisches Potential bezeichnet wird.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) entspricht der Summe von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) entlang eines integrierten Pfades ber der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Da die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) berechnet wird, indem man der Elektrisches Potential ($\varphi$) minus der Elektrisches Grundpotential ($\varphi_0$) betrachtet:
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
deshalb
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
(ID 3844)
Da die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) in Beziehung zu die Kraft ($\vec{F}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) steht durch:
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
und die Kraft in Abh ngigkeit von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und die Test Ladung ($q$) ausgedr ckt werden kann als:
| $ \vec{F} = q \vec{E} $ |
kann die mit dem elektrischen Feld verbundene Energie berechnet werden mit:
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
(ID 11515)
Die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) ist die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) mal die Test Ladung ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Daher, mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$):
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Dies ergibt:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Die Einheit zur Messung des elektrischen Potentials ist Newtonmeter pro Coulomb (N m/C oder J/C), was als Volt bezeichnet wird.
(ID 11518)
Wenn die Beitr ge von die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) ber ein Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) summiert werden:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
erhalten wir die Potentialdifferenz ($d\varphi$):
$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$
und die Summe der Felder entlang der Wege:
$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$
was im kontinuierlichen Grenzfall als das Integral von:
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
geschrieben werden kann.
(ID 11519)
Bei der Berechnung des Integrals von der Elektrisches Feld ($E$) ber einen geschlossenen Pfad der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) kann das Integral in zwei Teile zerlegt werden: einen von P1 nach P2 und einen zur ck von P2 nach P1. Dadurch ergibt sich
$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$
daher, mit
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Deshalb,
Wenn ein geladenes Teilchen einen geschlossenen Weg in einem elektrischen Feld zur cklegt, wird das Feld die gleiche Menge an Energie bereitstellen, wie sie vom Teilchen ben tigt wird, um den Weg zu vollenden.
(ID 11522)
Da die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) das Produkt von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) ist
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
und unter Ber cksichtigung der Komponenten von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$)
$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$
zusammen mit denen von der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$)
$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$
kann der Ausdruck vereinfacht werden zu
$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$
Mit der Ver nderung des Potentials
| $ d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz $ |
und dem berechneten Gradienten
| $ \nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ |
folgt, dass der Gradient des Potentials gleich dem negativen elektrischen Feld ist.
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
(ID 11557)
Beispiele
(ID 15800)
Wenn entlang eines Pfades mehrere Werte von ERROR:5480,0 betrachtet werden, l sst sich die Energie pro Ladung berechnen, die dem Wert der Elektrisches Potential ($\varphi$) entspricht. Diese Energie ist notwendig, um eine Ladung entlang dieses Weges mit einer Kraft pro Ladung, die der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) entspricht, zu bewegen:
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Dies wird grafisch wie folgt dargestellt:
(ID 11517)
Wenn wir zwei verschiedene Wege betrachten,
• einen, bei dem man sich einer Ladung aus einer bestimmten Entfernung n hert und sich dann senkrecht zum elektrischen Feld auf sie zu bewegt,
• einen anderen, bei dem man sich weiter vom Ursprung entfernt und dann zur Ladung zur ckkehrt, wobei der zus tzliche Weg durch das Vorzeichen ausgeglichen wird,
wird beobachtet, dass beide Wege das gleiche Ergebnis liefern:
Daher k nnen wir folgern, dass
Das elektrische Potential zwischen zwei Punkten entspricht dem Linienintegral des elektrischen Feldes entlang eines Segments, wobei das Integral unabh ngig vom gew hlten Weg ist.
Mit diesem Wissen kann man weiterhin elektrische Felder absch tzen, indem man den einfachsten Weg f r die Integration oder Summation von Feldern entlang von Segmenten w hlt.
(ID 11520)
(ID 15801)
ID:(1561, 0)