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Momentane Beschleunigung
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Um zu beschreiben, wie sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit entwickelt, muss der zeitliche Verlauf untersucht werden.
Das Verhältnis der Variation der Geschwindigkeit entspricht der Variation der Geschwindigkeit in der verstrichenen Zeit, die dividiert durch diese der Beschleunigung entspricht.
Für eine infinitesimal verstrichene Zeit entspricht die Beschleunigung der momentanen Beschleunigung.
ID:(1433, 0)
Mechanismen
Iframe
Auf der einen Seite ist es wichtig, zwischen dem einfachsten, eindimensionalen Fall und dem mehrdimensionalen Fall zu unterscheiden. Für beide Fälle ist die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) nach der Zeit ($t$), was der Anstieg der Kurve von die Geschwindigkeit ($v$) entspricht, gleich die Augenblickliche Beschleunigung ($a$). Ebenso ist die Ableitung von die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) nach der Zeit ($t$), was die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) entspricht.
Mechanismen
ID:(15398, 0)
Augenblickliche Beschleunigung
Konzept
Beschleunigung wird definiert als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. Diese Definition bezieht sich jedoch auf die durchschnittliche Beschleunigung, die während eines bestimmten Zeitintervalls existiert.
Diese Einschränkung der durchschnittlichen Beschleunigung spiegelt sich in Situationen wider, in denen ein Objekt beschleunigt und dann abgebremst wird, bis es zum Stillstand kommt. In diesem Fall beträgt die durchschnittliche Beschleunigung null, was suggeriert, dass das Objekt überhaupt nicht beschleunigt hat. Dies ist jedoch nicht wahr, da das Objekt sowohl während der Beschleunigungsphase als auch während der Abbremsphase bewegt wird.
Um die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen, muss ein kleines Zeitintervall betrachtet werden, so dass die Beschleunigung während dieser Zeit als annähernd konstant angenommen werden kann. Die so geschätzte durchschnittliche Beschleunigung entspricht der Beschleunigung, die zum betrachteten Zeitpunkt vorliegt.
Daher wird der Begriff 'momentane Beschleunigung' verwendet, um sich auf die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu beziehen.
ID:(11352, 0)
Beschleunigung als Ableitung
Konzept
Wenn wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) nehmen und ein Objekt in Bewegung mit der Geschwindigkeit die Geschwindigkeit ($v$) beobachten, und dann das gleiche Objekt zu einem späteren Zeitpunkt $t+\Delta t$ mit der Geschwindigkeit $v(t+\Delta t)$ beobachten, können wir seine Beschleunigung als die Änderung der Geschwindigkeit während der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) schätzen:
$a\sim\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
Wenn der Wert von $\Delta t$ kleiner wird, nähert sich dieser Ausdruck für die Beschleunigung der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$, oder anders gesagt, der Steigung der Tangente an der Geschwindigkeitskurve an diesem Punkt an:
Dies verallgemeinert das Konzept von die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) für den Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$), wie bereits zuvor gesehen, ausgedrückt als die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bezüglich der Zeit ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
ID:(11353, 0)
Zurückgelegter Weg als Fläche unter der Geschwindigkeitskurve
Konzept
Wenn man beobachtet, dass die Geschwindigkeit ($v$) gleich die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) pro der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) ist, deutet dies darauf hin, dass der Weg gegeben ist durch:
$\Delta s = v\Delta t$
Da das Produkt $v\Delta t$ die Fläche unter der Geschwindigkeits-zu-Zeit-Kurve repräsentiert, was auch gleich dem zurückgelegten Weg ist:
Diese Fläche kann auch mit dem Integral der entsprechenden Funktion berechnet werden. Daher entspricht das Integral der Beschleunigung zwischen der Startzeit ($t_0$) und der Zeit ($t$) der Änderung der Geschwindigkeit zwischen der Anfangsgeschwindigkeit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die Geschwindigkeit ($v$):
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(2252, 0)
Krümmung der Positionskurve im Zeitverlauf
Konzept
Die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) ist gleich der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) nach der Zeit ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Und da die Geschwindigkeit ($v$) die Ableitung von die Position ($s$) nach der Zeit ($t$) ist:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Daher ist die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) die zweite Ableitung von die Position ($s$) nach der Zeit ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
was der Krümmung der Kurve die Position ($s$) als Funktion von der Zeit ($t$) entspricht:
ID:(11354, 0)
Modell
Top
Im Fall einer Dimension ist die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) durch seine Ableitung bei der Zeit ($t$) mit die Geschwindigkeit ($v$) verbunden, während das Integral von die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) über das Intervall von der Zeit ($t$) bis der Startzeit ($t_0$) Die Geschwindigkeit ($v$) ab die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) liefert. In einem allgemeineren Kontext, in mehr als einer Dimension, kann die Funktion die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) bei der Zeit ($t$) abgeleitet werden, was zu die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) führt.
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$
&a = @DIF( &v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$
a = @DIF( v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$
a = @DIFF( s , t , 2 )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $
v = v_0 + @INT( a, tau, t_0, t )
ID:(15401, 0)
Augenblickliche Beschleunigung in einer Dimension
Gleichung
Die Variable die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$), berechnet als Änderung in die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) geteilt durch das Intervall von der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) mittels
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
ist eine Näherung der tatsächlichen Beschleunigung, die dazu neigt, sich zu verzerren, wenn die Beschleunigung während des Zeitintervalls schwankt. Daher wird das Konzept von die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) eingeführt, das über ein sehr kleines Zeitintervall bestimmt wird. In diesem Fall beziehen wir uns auf ein unendlich kleines Zeitintervall, und die Geschwindigkeitsänderung über die Zeit reduziert sich auf die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) nach der Zeit ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Wenn wir die Differenz von die Geschwindigkeit ($v$) zu den Zeiten $t+\Delta t$ und $t$ betrachten:
$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$
und $\Delta t$ als der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) nehmen, dann im Grenzwert von infinitesimal kurzen Zeiten:
$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$
Diese letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Funktion die Geschwindigkeit ($v$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
welche wiederum die Steigung der grafischen Darstellung dieser Funktion bei der Zeit ($t$) ist.
was der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht.
ID:(4356, 0)
Integration der Beschleunigung
Gleichung
Wenn die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) entspricht,
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
dann ist die Geschwindigkeit ($v$) gleich die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), und die Integration der Beschleunigung von der Startzeit ($t_0$) bis der Zeit ($t$) ist:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
Wenn wir die Definition von die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) bei der Zeit ($t$) integrieren,
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
bedeutet dies, dass für ein Zeitintervall $dt$ die zurückgelegte Strecke ist
$dv = a dt$
Wenn wir $N$ Intervalle $dt_i$ mit Beschleunigungen $a_i$ betrachten, wird die Gesamtänderung der Geschwindigkeit sein
$v - v_0 = \displaystyle\sum_i a_i dt_i$
Wenn wir die Beschleunigungs-Zeit-Kurve betrachten, entsprechen die Elemente $a_i dt_i$ Rechtecken mit der Höhe $a_i$ und der Breite $dt_i$. Die Summe entspricht daher der Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve. Daher kann die Summe als Integral ausgedrückt werden:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(10307, 0)
Momentane Beschleunigung als Funktion der Position
Gleichung
Da die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) die Steigung von die Geschwindigkeit ($v$) in Bezug auf der Zeit ($t$) darstellt,
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
und die Geschwindigkeit ($v$) wiederum die Steigung von die Position ($s$) in Bezug auf der Zeit ($t$) ist,
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
können wir die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) als die zweite Ableitung von die Position ($s$) nach der Zeit ($t$) ausdrücken.
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
Da die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) nach der Zeit ($t$) ist,
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
und die Geschwindigkeit ($v$) die Ableitung von die Position ($s$) nach der Zeit ($t$) ist,
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
haben wir
$a=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{ds}{dt}=\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}$
daher
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
ID:(12572, 0)
Augenblickliche Beschleunigung in mehr Dimensionen
Gleichung
Im Allgemeinen sollte die Geschwindigkeit als ein dreidimensionaler Vektor verstanden werden. Das heißt, ihre die Position ($s$) muss durch einen Vektor eine Posición (Vektor) ($\vec{s}$) beschrieben werden, für den jede Komponente die Geschwindigkeit ($v$) definiert werden kann, wie in der folgenden Gleichung gezeigt:
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Dies ermöglicht eine Verallgemeinerung von die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) wie folgt:
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
Da ein Vektor als eine Anordnung seiner verschiedenen Komponenten ausgedrückt werden kann,
$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
kann seine Ableitung als Ableitung jeder seiner Komponenten ausgedrückt werden:
$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$
Im Allgemeinen gilt, dass die instantane Geschwindigkeit in mehr als einer Dimension
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
ID:(3155, 0)