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Pêndulo matemático

Storyboard

No caso de um pêndulo com massa pontual, a energia potencial é gerada ao elevar a massa contra o campo gravitacional à medida que o pêndulo se desvia por um determinado ângulo.

>Modelo

ID:(1420, 0)



Mecanismos

Iframe

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15849, 0)



Oscilações com um pêndulo matemático

Descrição

>Top


Um pêndulo é descrito como uma massa pontual $m$ pendurada por um fio que está ligado a um ponto de pivô e tem um comprimento $l$. É chamado de pêndulo matemático porque é uma abstração de um pêndulo físico, com a diferença de que sua massa é tratada como uma massa pontual.

ID:(7098, 0)



Pêndulo matemático

Descrição

>Top


Um pêndulo é definido por uma massa pontual $m$ pendurada em um fio preso a um pino de comprimento $l$. Ele é chamado de pêndulo matemático porque é uma abstração de um pêndulo físico, no qual a massa é considerada concentrada em um único ponto.

ID:(1180, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$g$
g
Aceleração gravitacional
m/s^2
$\theta$
theta
ângulo de balanço
rad
$\theta_0$
theta_0
ângulo inicial
rad
$L$
L
Comprimento do pêndulo
m
$K$
K
Energia cinética da massa pontual
J
$V$
V
Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos
J
$E$
E
Energia total
J
$\omega_0$
omega_0
Frequência angular do pêndulo matemático
rad/s
$m_g$
m_g
Massa gravitacional
kg
$m_i$
m_i
Massa inercial
kg
$\pi$
pi
Pi
rad

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$\nu$
nu
Frequência
Hz
$T$
T
Período
s
$t$
t
Tempo
s
$\omega$
omega
Velocidade angular
rad/s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado




Equações

#
Equação

$ E = K + V $

E = K + V


$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

K = m_i * L ^2* omega ^2/2


$ m_g = m_i $

m_g = m_i


$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

nu =1/ T


$ \omega_0 = 2 \pi \nu $

omega = 2* pi * nu


$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

omega = 2* pi / T


$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

omega_0 ^2 = g / L


$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $

v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )


$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

V = m_g * g * L * theta ^2/2


$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

V = m_g * g * L * theta ^2/2


$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $

x = x_0 *cos( omega_0 * t )

ID:(15852, 0)



Energia total

Equação

>Top, >Modelo


A energia total corresponde à soma da energia cinética total e da energia potencial:

$ E = K + V $

$K$
$K$
Energia cinética da massa pontual
$J$
6286
$V$
$V$
Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos
$J$
6285
$E$
Energia total
$J$
5290

ID:(3687, 0)



Energia cinética de um pêndulo matemático

Equação

>Top, >Modelo


A energia cinética de um corpo em rotação é dada por

$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$



onde $I$ é o momento de inércia e $\omega$ é a velocidade angular. O momento de inércia de uma massa pontual $m$ que gira a uma distância $L$ de um eixo é

$ I = m L ^2$



então temos

$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

$L$
Comprimento do pêndulo
$m$
6282
$K$
Energia cinética da massa pontual
$J$
6286
$m_i$
Massa inercial
$kg$
6290
$\omega$
Velocidade angular
$rad/s$
6068

ID:(4515, 0)



Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (1)

Equação

>Top, >Modelo


A energia potencial gravitacional de um pêndulo é

$ U = m g L (1-\cos \theta )$



que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

$g$
Aceleração gravitacional
9.8
$m/s^2$
5310
$\theta$
ângulo de balanço
$rad$
6283
$L$
Comprimento do pêndulo
$m$
6282
$V$
Energia potencial do pêndulo, para pequenos ângulos
$J$
6285
$m_g$
Massa gravitacional
$kg$
8762

A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa m, suspenso por um fio de comprimento L e desviado por um ângulo \theta é dada por

$ U = m g L (1-\cos \theta )$



onde g é a aceleração devida à gravidade.

Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$



Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$



É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.

ID:(4514, 1)



Energia potencial de um pêndulo matemático para ângulos pequenos (2)

Equação

>Top, >Modelo


A energia potencial gravitacional de um pêndulo é

$ U = m g L (1-\cos \theta )$



que pode ser aproximada para ângulos pequenos como:

$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

$g$
Aceleração gravitacional
9.8
$m/s^2$
5310
$\theta$
$\theta_0$
ângulo inicial
$rad$
5296
$L$
Comprimento do pêndulo
$m$
6282
$V$
$E$
Energia total
$J$
5290
$m_g$
Massa gravitacional
$kg$
8762

A energia potencial gravitacional de um pêndulo com massa m, suspenso por um fio de comprimento L e desviado por um ângulo \theta é dada por

$ U = m g L (1-\cos \theta )$



onde g é a aceleração devida à gravidade.

Para ângulos pequenos, a função cosseno pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor até a segunda ordem

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$



Essa aproximação resulta em uma simplificação da energia potencial para

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$



É importante observar que o ângulo deve estar em radianos.

ID:(4514, 2)



Igualdade das massas inercial e gravitacional

Equação

>Top, >Modelo


As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).

A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).

Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos

$ m_g = m_i $

$m_g$
Massa gravitacional
$kg$
8762
$m_i$
Massa inercial
$kg$
6290

Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.

ID:(12552, 0)



Frequência angular de um pêndulo matemático

Equação

>Top, >Modelo


No caso do pêndulo matemático



a energia pode ser expressa como

$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$



e a partir dessa expressão podemos obter a frequência angular

$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

$g$
Aceleração gravitacional
9.8
$m/s^2$
5310
$L$
Comprimento do pêndulo
$m$
6282
$\omega_0$
Frequência angular do pêndulo matemático
$rad/s$
6287

A energia cinética do pêndulo matemático com massa $m$, comprimento da corda $r$ e velocidade angular $\omega$ é

$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$



e a energia potencial gravitacional é

$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$



Com $\theta$ representando o ângulo e $g$ a aceleração angular, a equação para a energia total é expressa como

$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$



Dado que o período é igual a

$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$



podemos relacionar a frequência angular como

$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

ID:(4516, 0)



Frequência angular

Equação

>Top, >Modelo


La frequência angular ($\omega$) é com la período ($T$) igual a

$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega$
$\omega_0$
Frequência angular do pêndulo matemático
$rad/s$
6287
$T$
Período
$s$
5078
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$
5057

ID:(12335, 0)



Frequência

Equação

>Top, >Modelo


La frequência ($\nu$) corresponde ao número de vezes que ocorre uma oscilação em um segundo. Já La período ($T$) é o tempo que uma única oscilação leva. Portanto, o número de oscilações por segundo é:

$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

$\nu$
Frequência
$Hz$
5077
$T$
Período
$s$
5078

A frequência é indicada em Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)



Amplitude de oscilação

Equação

>Top, >Modelo


Com a descrição da oscilação usando

$ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $



a parte real corresponde à evolução temporal da amplitude

$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $

$ x = x_0 \cos \omega_0 t $

$x$
$\theta$
ângulo de balanço
$m$
6283
$x_0$
$\theta_0$
ângulo inicial
$m$
5296
$\omega_0$
$\omega_0$
Frequência angular do pêndulo matemático
$rad/s$
6287
$t$
Tempo
$s$
5264

ID:(14074, 0)



Velocidade de oscilação

Equação

>Top, >Modelo


Ao obtermos a parte real da derivada do número complexo que representa a oscilação

$ \dot{z} = i \omega_0 z $



cuja parte real corresponde à velocidade

$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $

$ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $

$x_0$
$\theta_0$
ângulo inicial
$m$
5296
$\omega_0$
$\omega_0$
Frequência angular do pêndulo matemático
$rad/s$
6287
$t$
Tempo
$s$
5264
$v$
$\omega$
Velocidade angular
$m/s$
6068

Usando o número complexo

$ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $



introduzido em

$ \dot{z} = i \omega_0 z $



obtemos

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$



assim, a velocidade é obtida como a parte real

$ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $

ID:(14076, 0)