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Torque
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Si se desea modificar el estado rotacional del cuerpo se debe modificar el momento angular.
La velocidad con que esto ocurre se denomina torque definida como la variación del momento angular en el tiempo y es vectorial dado que la variación del momento angular lo es. Esto lo definió Newton en su segundo principio para el caso de la rotación.
ID:(599, 0)
Variación del momento angular
Ecuación
De manera similar al caso de la traslación, donde el tercer principio establece que toda acción tiene una reacción igual y opuesta:
| $ \Delta p = p - p_0 $ |
El análogo en el caso de la rotación es
 $ \Delta L = L - L_0 $ |
.
ID:(9875, 0)
Variación del momento angular (vector)
Ecuación
Así como en el caso unidimensional, la variación del momento angular es
| $ \Delta L = L - L_0 $ |
esto se puede generalizar a más dimensiones como
| $ \Delta\vec{L} = \vec{L} - \vec{L}_0 $ |
.
ID:(10986, 0)
Torque medio
Ecuación
En el caso de la translación, el segundo principio define cómo se genera el movimiento traslacional con la definición de la fuerza
| $ F_m \equiv\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta t }$ |
En el caso de la rotación, en un intervalo de tiempo $\Delta t$, el momento angular $\Delta L$ varía de acuerdo a:
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
.
ID:(9876, 0)
Torque medio (vector)
Ecuación
Dado que el torque medio en una sola dimensión es
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
esta expresión se puede generalizar para más dimensiones utilizando
| $ \vec{T}_m =\displaystyle\frac{ \Delta\vec{L} }{ \Delta t } $ |
.
ID:(10987, 0)
Torque instantaneo
Ecuación
El torque medio calculado con la variación del momento angular
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
por ello el torque instantaneo se puede definir en el limite de tiempo infinitesimal:
| $ T =\displaystyle\frac{d L }{d t }$ |
Con la definición de torque medio:
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
\\n\\nse puede pasar al limite instantáneo en la medida que se consideren tiempos infinitesimales
$T\equiv \lim_{t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta t}\equiv \displaystyle\frac{dL}{dt}$
con lo que el torque instantaneo se define con la derivada del momento angular:
| $ T =\displaystyle\frac{d L }{d t }$ |
ID:(3252, 0)
Torque instantaneo (vector)
Ecuación
Dado que el torque medio en más de una dimensión es
| $ \vec{T}_m =\displaystyle\frac{ \Delta\vec{L} }{ \Delta t } $ |
el torque instantáneo es el torque en el límite en que $\Delta t$ tiende a ser infinitesimal, lo que equivale a la derivada del momento angular
| $ \vec{T} =\displaystyle\frac{ d\vec{L} }{ dt } $ |
.
ID:(10988, 0)
Torque para momento de inercia constante
Ecuación
En el escenario en el que el momento de inercia es constante, la derivada del momento angular es igual a
| $ L = I \omega $ |
lo cual implica que el torque es igual a
| $ T = I \alpha $ |
Dado que el momento es igual a
| $ L = I \omega $ |
se sigue que en el caso en que el momento de inercia no cambia con el tiempo,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
lo que implica que
| $ T = I \alpha $ |
.
Esta relación equivale a la segunda ley de Newton en el contexto de la rotación en lugar de la traslación.
ID:(3253, 0)
Torque para momento de inercia constante (vector)
Ecuación
En el caso en que el momento de inercia sea constante, la derivada del momento angular es igual a
| $ \vec{L} = I \vec{\omega} $ |
lo que implica que el torque es igual a
| $ \vec{T} = I \vec{\alpha} $ |
Dado que el momento es igual a
| $ \vec{L} = I \vec{\omega} $ |
entonces, en el caso de que el momento de inercia no varíe con el tiempo,
$\vec{T}=\displaystyle\frac{d\vec{L}}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\vec{\omega}) = I\displaystyle\frac{d\vec{\omega}}{dt} = I\vec{\alpha}$
lo que nos lleva a
| $ \vec{T} = I \vec{\alpha} $ |
.
Esta relación es el equivalente de la segunda ley de Newton para la traslación, pero aplicado a la rotación en el contexto vectorial.
ID:(10989, 0)
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