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Revisión del Método Monte Carlo (MCM)

Storyboard

Aun que el método Monte Carlo (MCM) es visto como la panacea en el calculo de dosis, su aplicación esta limitada por el esfuerzo computacional, Este esta ligada al gran numero de partículas que se deben simular para lograr reducir la incerteza numérica inherente a la complejidad del sistema. En esta revisión se describe el método y se revisa la problemática de la incerteza numérica.

>Modelo

ID:(1161, 0)

Camino aleatorio

Definición

Para explorar las propiedades de Monte Carlo supongamos que queremos simular el comportamiento de un borrachito.

Este se desplaza unidimensionalmente pudiendo dar pasos tanto a la derecha como a la izquierda.

Las distancias recorrida en cada dirección dependen de los objetos en el camino. Estos se encuentran distribuidos en forma aleatoria.

Cada vez que llega a un objeto invierte la dirección en que se desplaza.

ID:(9175, 0)

Simulador camino aleatorio paso variable

Imagen

Para obtener la distribución de las partículas en función de la posición se puede realizar una iteración en que

> 0. se define una posición y dirección inicial
> 1. se generado al azar un largo de paso
> 2. se define al azar si se invierte la dirección
> 3. se desplaza según el paso definido en 1 y 2
> 3. se continua en 1

Si se supone que esperamos un tiempo definido y que la partícula se desplaza a velocidad constante, se puede determinar la posición que tiene tras un tiempo dado o tras un camino total definido.

Para comprender como este tipo de simulación depende de los parámetros se propone variar:

> i) la resolución (ancho de la clase con que se estima la distribución)

> ii) numero de iteraciones

ID:(9100, 0)

Conclusiones

Nota

Jugando con el simulador notamos que

> 1. Solo tiene sentido considerar distribuciones de posiciones posibles

> 2. La distribución se basa en determinar posiciones en rangos discretos

> 3. Rangos de menor tamaño requieren de un mayor numero de iteraciones

ID:(9101, 0)

Compton Scattering

Cita

El scattering de Compton ocurre cuando un fotón interactua con una partícula cargada, en particular con un electrón. En el proceso el fotón pierde energía y se desvía poniendo el electrón en movimiento:

ID:(9176, 0)

Simulador camino aleatorio con scattering de Compton

Ejercicio

Se puede estudiar el modelo de Klein-Nishina en forma numérica. Para ello se muestra

- la sección eficaz total en función de la energía del foton
- la sección diferencial en función del angulo para las energías mínima, media y máxima que se definan
- lo que seria la sección eficaz total en un sistema unidimensional que da según la energía transmisión o reflexión

ID:(9114, 0)

Revisión del Método Monte Carlo (MCM)

Storyboard

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$

p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx

$\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)$

\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)

$\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)$

\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)

$\lambda_2=\lambda+\lambda_c(1-\cos\theta)$

lambda_2 = lambda + lambda_c * (1- cos( theta ))

$\lambda=\displaystyle\frac{1}{c\,\sigma}$

\lambda=\displaystyle\frac{1}{c\,\sigma}

Ejemplos

Camino aleatorio

Para explorar las propiedades de Monte Carlo supongamos que queremos simular el comportamiento de un borrachito.

Este se desplaza unidimensionalmente pudiendo dar pasos tanto a la derecha como a la izquierda.

Las distancias recorrida en cada direcci n dependen de los objetos en el camino. Estos se encuentran distribuidos en forma aleatoria.

Cada vez que llega a un objeto invierte la direcci n en que se desplaza.

image

Distribuci n de distancias recorridas

El caso mas simple es el de una particular que se desplaza a lo largo de un eje pudiendo impactar alg n objeto.

Si la probabilidad de lograr llegar a una distancia entre x y x+dx es p(x), se tendr que la probabilidad de impactar ser igual a la diferencia de propagaci n:

p(x)-p(x+dx)\sim-\displaystyle\frac{dp}{dx}dx

Si la probabilidad de llegar a x es p(x) y la probabilidad de impactar en el camino dx es proporcional a dx/\lambda, donde \lambda es un largo caracter stico, se tiene que

dp = -\displaystyle\frac{dx}{\lambda} p(x)

que se puede integrar dando

equation

donde \lambda es la constante de integraci n.

La funci n p(x) muestra como se distribuyen en la distancia x las ubicaciones en donde ocurre el primer impacto si la part cula inicia su camino en el origen (x=0).

Una distribuci n de esta forma corresponde a una distribuci n de Poisson.

Simulador camino aleatorio paso variable

Para obtener la distribuci n de las part culas en funci n de la posici n se puede realizar una iteraci n en que

> 0. se define una posici n y direcci n inicial
> 1. se generado al azar un largo de paso
> 2. se define al azar si se invierte la direcci n
> 3. se desplaza seg n el paso definido en 1 y 2
> 3. se continua en 1

Si se supone que esperamos un tiempo definido y que la part cula se desplaza a velocidad constante, se puede determinar la posici n que tiene tras un tiempo dado o tras un camino total definido.

php

Para comprender como este tipo de simulaci n depende de los par metros se propone variar:

> i) la resoluci n (ancho de la clase con que se estima la distribuci n)

> ii) numero de iteraciones

Conclusiones

Jugando con el simulador notamos que

> 1. Solo tiene sentido considerar distribuciones de posiciones posibles

> 2. La distribuci n se basa en determinar posiciones en rangos discretos

> 3. Rangos de menor tama o requieren de un mayor numero de iteraciones

Secci n eficaz total y camino libre

La secci n efectiva total \sigma est relacionada con la secci n efectiva que la part cula ofrece al haz incidente y por lo tanto afecta directamente a la trayectoria libre. Si se multiplica por la concentraci n de las part culas c se puede demostrar que la trayectoria libre es

equation

Con lo que es posible estimar la probabilidad de impacto con la secci n efectiva total:

equation=9099

Compton Scattering

El scattering de Compton ocurre cuando un fot n interactua con una part cula cargada, en particular con un electr n. En el proceso el fot n pierde energ a y se desv a poniendo el electr n en movimiento:

image

Scattering de Compton

El scattering de Compton ocurre cuando un foton interactua con un electr n transfiirendole el primero energ a al segundo (interacci n inel stica). El largo de onda con que emerge del scatering el foton se puede calcular mediante

equation

en donde

equation=9146

es el largo de onda de Compton y \theta el angulo de desv o del foton.

Secci n eficaz diferencial de scattering de Compton

En el caso de scattering de Compton, la secci n eficaz diferencial es seg n Klein-Nishina

equation

donde

equation=9112

es la secci n eficaz de Thomson y el factor

equation=9113

es la energ a normalizada.

Secci n eficaz total de scattering de Compton

Si se toma la secci n eficaz diferencial seg n Klein-Nishina

equation=9144

y se integra en el angulo solido

equation=9147

se obtiene la secci n eficaz total

equation

donde

equation=9112

es la secci n eficaz de Thomson y el factor

equation=9113

es la energ a normalizada.

En el limite de peque os \epsilon\ll 1 se tiene que la secci n total es

\sigma_{KN}\sim\sigma_T\left(1-2\epsilon+\displaystyle\frac{26}{5}\epsilon^2\ldots\right)

y en el limite \epsilon\gg 1 se tiene que la secci n total es

\sigma_{KN}\sim\displaystyle\frac{3}{8}\displaystyle\frac{\sigma_T}{\epsilon}\left(\log(2\epsilon)+\displaystyle\frac{1}{2}\right)

Simulador camino aleatorio con scattering de Compton

Se puede estudiar el modelo de Klein-Nishina en forma num rica. Para ello se muestra

- la secci n eficaz total en funci n de la energ a del foton
- la secci n diferencial en funci n del angulo para las energ as m nima, media y m xima que se definan
- lo que seria la secci n eficaz total en un sistema unidimensional que da seg n la energ a transmisi n o reflexi n

php

>Modelo

ID:(1161, 0)