Para ajustar datos $(x_i,y_i)$ a una par bola del tipo

$y=ax^2+bx+c$

un un punto fijo $(x_0,y_0)$ se puede escribir como

$y=y_0+a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0)$

Por ello el factor $c$ debe ser

$c=y_0-ax_0^2-bx_0$

mientras que los valores $a$ y $b$ deben ser tal que la diferencia de los cuadrados

equation

sea un m nimo.

Si se tiene una serie x_i y otra de y_i de N puntos se puede calcular su suma de sus productos en las potencias n y m respectivamente:

equation

Si se deriva

equation=8748

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:

$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}
+S_{x3})=0$

donde

equation=8847

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.

Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:

$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$.

La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es

equation

Para el caso especial que la parabola pasa por el origen $x_0=0$ y $y_0=0$ con lo que la expresi n

equation=8749

se reduce a

equation

Si se deriva

equation=8748

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:

$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$

donde

equation=8847

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.

Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:

$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_x2
+S_x3)=0$

La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es

equation

Para el caso especial que la parabola pasa por el origen $x_0=0$ y $y_0=0$ con lo que la expresi n

equation=8750

se reduce a

equation